ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=kx+b โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ k และ b คือตัวเลขใดๆ
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง
1. ในการพล็อตกราฟฟังก์ชันเราต้องการพิกัดของจุดสองจุดที่เป็นของกราฟของฟังก์ชัน ในการค้นหา คุณต้องนำค่า x สองค่ามาแทนที่ลงในสมการของฟังก์ชัน และใช้ค่าเหล่านี้ในการคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างเช่น หากต้องการพล็อตฟังก์ชัน y= x+2 จะสะดวกที่จะใช้ x=0 และ x=3 จากนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะเท่ากับ y=2 และ y=3 เราได้คะแนน A(0;2) และ B(3;3) มาเชื่อมต่อพวกมันและรับกราฟของฟังก์ชัน y= x+2:
2.
ในสูตร y=kx+b ตัวเลข k เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน:
ถ้า k>0 ฟังก์ชัน y=kx+b จะเพิ่มขึ้น
ถ้าเค
ค่าสัมประสิทธิ์ b แสดงการกระจัดของกราฟฟังก์ชันตามแกน OY:
ถ้า b>0 ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y=kx โดยการขยับหน่วย b ขึ้นไปตามแกน OY
ถ้าข
รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y= ½ x+3; ย=x+3
โปรดทราบว่าในฟังก์ชันทั้งหมดนี้สัมประสิทธิ์ k เหนือศูนย์และฟังก์ชั่นก็คือ เพิ่มขึ้น.ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่า k ยิ่งมาก มุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน OX ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
ในทุกฟังก์ชัน b=3 - และเราเห็นว่ากราฟทั้งหมดตัดกันแกน OY ที่จุด (0;3)
ตอนนี้ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=-2x+3; y=- ½ x+3; ย=-x+3
คราวนี้ในทุกฟังก์ชันจะมีค่าสัมประสิทธิ์ k น้อยกว่าศูนย์และฟังก์ชั่น กำลังลดลงสัมประสิทธิ์ b=3 และกราฟตัดแกน OY ที่จุด (0;3) เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้า
ลองดูกราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y=2x; y=2x-3
ทีนี้ ในสมการฟังก์ชันทั้งหมด ค่าสัมประสิทธิ์ k เท่ากับ 2 และเราได้เส้นขนานสามเส้น
แต่ค่าสัมประสิทธิ์ b ต่างกัน และกราฟเหล่านี้ตัดแกน OY ที่จุดต่างกัน:
กราฟของฟังก์ชัน y=2x+3 (b=3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;3)
กราฟของฟังก์ชัน y=2x (b=0) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;0) - จุดกำเนิด
กราฟของฟังก์ชัน y=2x-3 (b=-3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;-3)
ดังนั้น หากเรารู้สัญญาณของสัมประสิทธิ์ k และ b เราก็สามารถจินตนาการได้ทันทีว่ากราฟของฟังก์ชัน y=kx+b เป็นอย่างไร
ถ้า เค 0
ถ้า k>0 และ b>0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:
ถ้า k>0 และขจากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:
ถ้า k ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:
ถ้า เค=0จากนั้นฟังก์ชัน y=kx+b จะกลายเป็นฟังก์ชัน y=b และกราฟของฟังก์ชันจะเป็นดังนี้:
พิกัดของจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชัน y=b เท่ากับ b If ข=0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx (สัดส่วนโดยตรง) จะผ่านจุดกำเนิด:
3. ให้เราแยกกราฟของสมการ x=a ออกจากกันกราฟของสมการนี้เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน OY โดยทุกจุดจะมีค่า Abscissa x=a
ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x=3 มีลักษณะดังนี้:
ความสนใจ!สมการ x=a ไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้นค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์จึงสอดคล้องกับค่าต่างๆ ของฟังก์ชัน ซึ่งไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของฟังก์ชัน
4. เงื่อนไขความขนานของเส้นสองเส้น:
กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ขนานกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 =k 2
5. เงื่อนไขที่เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกัน:
กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 *k 2 =-1 หรือ k 1 =-1/k 2
6. จุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b กับแกนพิกัด
ด้วยแกน OY ค่า Abscissa ของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OY มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OY คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน x เราได้ y=b นั่นคือจุดตัดกับแกน OY มีพิกัด (0; b)
ด้วยแกน OX: พิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OX จะเป็นศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OX คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน y เราได้ 0=kx+b ดังนั้น x=-b/k นั่นคือจุดตัดกับแกน OX มีพิกัด (-b/k;0):
สื่อการสอนนี้มีไว้เพื่อการอ้างอิงเท่านั้นและเกี่ยวข้องกับหัวข้อต่างๆ มากมาย บทความนี้ให้ภาพรวมของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและพิจารณาประเด็นที่สำคัญที่สุด - วิธีสร้างกราฟอย่างถูกต้องและรวดเร็ว- ในระหว่างการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงโดยที่ไม่มีความรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน มันจะเป็นเรื่องยาก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องจำไว้ว่ากราฟของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ มีลักษณะอย่างไร และจำไว้บ้าง ความหมายของฟังก์ชันต่างๆ เราจะพูดถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันหลักด้วย
ฉันไม่ได้อ้างว่าเนื้อหามีความสมบูรณ์และครบถ้วนทางวิทยาศาสตร์ ก่อนอื่นจะเน้นไปที่การปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้นด้วย เราเผชิญหน้าอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง- แผนภูมิสำหรับหุ่น? คุณสามารถพูดอย่างนั้นได้เช่นกัน
เนื่องจากมีการร้องขอจากผู้อ่านเป็นจำนวนมาก สารบัญที่คลิกได้:
นอกจากนี้ยังมีเรื่องย่อที่สั้นเป็นพิเศษในหัวข้อนี้
– ฝึกฝนแผนภูมิ 16 ประเภทโดยศึกษาหกหน้า!
จริงๆ นะ หก แม้แต่ฉันก็แปลกใจด้วยซ้ำ ข้อมูลสรุปนี้มีกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและพร้อมใช้งานโดยมีค่าธรรมเนียมเล็กน้อย สามารถดูเวอร์ชันสาธิตได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ใกล้แค่เอื้อม ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!
และเริ่มกันเลย:
จะสร้างแกนพิกัดอย่างถูกต้องได้อย่างไร?
ในทางปฏิบัติ นักเรียนมักจะทำแบบทดสอบในสมุดบันทึกแยกกันโดยเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำไมคุณถึงต้องมีเครื่องหมายตาหมากรุก? โดยหลักการแล้วงานนี้สามารถทำได้บนแผ่น A4 และกรงจำเป็นสำหรับการออกแบบภาพวาดคุณภาพสูงและแม่นยำเท่านั้น
การวาดกราฟฟังก์ชันใดๆ จะเริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.
การวาดภาพอาจเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ
ก่อนอื่นมาพิจารณากรณีสองมิติก่อน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน:
1) วาดแกนพิกัด แกนนั้นเรียกว่า แกน x และแกนก็คือ แกน y - เราพยายามวาดมันอยู่เสมอ เรียบร้อยและไม่คดเคี้ยว- ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายกับเคราของ Papa Carlo
2) เราเซ็นชื่อแกนด้วยตัวอักษรขนาดใหญ่ "X" และ "Y" อย่าลืมติดป้ายแกนด้วย.
3) ตั้งค่าสเกลตามแกน: วาดศูนย์และสองอัน- เมื่อวาดภาพ สเกลที่สะดวกและใช้บ่อยที่สุดคือ 1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย) - หากเป็นไปได้ ให้ติดไว้ อย่างไรก็ตามในบางครั้งอาจเกิดขึ้นว่าภาพวาดไม่พอดีกับแผ่นสมุดบันทึก - จากนั้นเราจะลดขนาดลง: 1 หน่วย = 1 เซลล์ (รูปวาดทางด้านขวา) เป็นเรื่องยาก แต่บังเอิญว่าขนาดของภาพวาดต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น
ไม่จำเป็นต้อง "ปืนกล" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….เพราะระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของเดส์การตส์ และนักเรียนก็ไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์และ สองหน่วยตามแนวแกน- บางครั้ง แทนหน่วย จะสะดวกในการ "ทำเครื่องหมาย" ค่าอื่น ๆ เช่น "สอง" บนแกน abscissa และ "สาม" บนแกนกำหนด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะกำหนดตารางพิกัดโดยไม่ซ้ำกันด้วย
ควรประมาณขนาดโดยประมาณของแบบร่างก่อนสร้างแบบร่าง- ตัวอย่างเช่น หากงานต้องวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด , , แสดงว่ามาตราส่วนยอดนิยมของ 1 หน่วย = 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม ลองดูที่ประเด็น - ที่นี่คุณจะต้องวัดลงไปสิบห้าเซนติเมตรและเห็นได้ชัดว่าภาพวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นสมุดบันทึก ดังนั้นเราจึงเลือกสเกลที่เล็กกว่าทันที: 1 หน่วย = 1 เซลล์
โดยวิธีการประมาณเซนติเมตรและเซลล์โน๊ตบุ๊ค จริงหรือไม่ที่เซลล์โน้ตบุ๊ก 30 เซลล์มี 15 เซนติเมตร? เพื่อความสนุกสนาน ให้วัดสมุดบันทึกด้วยไม้บรรทัดขนาด 15 เซนติเมตร ในสหภาพโซเวียตสิ่งนี้อาจเป็นจริง... เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันนี้ในแนวนอนและแนวตั้ง ผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างออกไป! พูดอย่างเคร่งครัด สมุดบันทึกสมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะเป็นตาหมากรุก แต่เป็นทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า สิ่งนี้อาจดูไร้สาระ แต่การวาดภาพวงกลมที่มีเข็มทิศในสถานการณ์เช่นนี้ไม่สะดวกอย่างยิ่ง พูดตามตรง ในช่วงเวลาดังกล่าวคุณเริ่มคิดถึงความถูกต้องของสหายสตาลินที่ถูกส่งไปยังค่ายเพื่อทำงานแฮ็กในการผลิต ไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมรถยนต์ในประเทศ เครื่องบินตก หรือโรงไฟฟ้าระเบิด
พูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้นๆเกี่ยวกับเครื่องเขียน วันนี้โน้ตบุ๊กที่ขายส่วนใหญ่พูดน้อยที่สุดคือไร้สาระ ด้วยเหตุผลที่ทำให้เปียก ไม่ใช่แค่จากปากกาเจลเท่านั้น แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่นด้วย! พวกเขาประหยัดเงินบนกระดาษ ในการทำการทดสอบให้เสร็จสิ้น ฉันแนะนำให้ใช้สมุดบันทึกจากโรงงานผลิตเยื่อและกระดาษ Arkhangelsk (18 แผ่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส) หรือ "Pyaterochka" แม้ว่าจะมีราคาแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจล แม้แต่รีฟิลเจลจีนที่ถูกที่สุดก็ยังดีกว่าปากกาลูกลื่นซึ่งทำให้กระดาษเปื้อนหรือฉีกได้มาก ปากกาลูกลื่น "คู่แข่ง" เพียงหนึ่งเดียวที่ฉันจำได้คือ Erich Krause เธอเขียนได้ชัดเจน สวยงาม และสม่ำเสมอ ไม่ว่าจะเขียนเต็มแกนหรือแทบจะว่างเปล่าก็ตาม
นอกจากนี้: วิสัยทัศน์ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์มีกล่าวถึงในบทความนี้ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับไตรมาสประสานงานมีอยู่ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน อสมการเชิงเส้น.
เคสสามมิติ
มันเกือบจะเหมือนกันที่นี่
1) วาดแกนพิกัด มาตรฐาน: ใช้แกน – ชี้ขึ้น, แกน – ชี้ไปทางขวา, แกน – ชี้ลงไปทางซ้าย อย่างเคร่งครัดที่มุม 45 องศา
2) ติดป้ายกำกับแกน
3) ตั้งสเกลตามแกน สเกลตามแกนจะเล็กกว่าสเกลตามแกนอื่นๆ สองเท่า- โปรดทราบว่าในภาพวาดที่ถูกต้องฉันใช้ "รอยบาก" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว)- จากมุมมองของฉัน สิ่งนี้แม่นยำกว่า เร็วกว่า และสวยงามกว่า - ไม่จำเป็นต้องมองหาจุดกึ่งกลางของเซลล์ใต้กล้องจุลทรรศน์และ "แกะสลัก" หน่วยที่อยู่ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัด
เมื่อทำการวาดภาพ 3 มิติ ให้ให้ความสำคัญกับขนาดอีกครั้ง
1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย)
กฎทั้งหมดนี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎเกณฑ์มีไว้ให้แหก นั่นคือสิ่งที่ฉันจะทำตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะวาดรูปบทความในภายหลังใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องจากมุมมองของการออกแบบที่ถูกต้อง ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือได้ แต่จริงๆ แล้วมันน่ากลัวที่จะวาดกราฟเหล่านี้ เนื่องจาก Excel ไม่เต็มใจที่จะวาดกราฟให้แม่นยำมากขึ้น
กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น
ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ โดยตรง- ในการสร้างเส้นตรง การรู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว
ตัวอย่างที่ 1
สร้างกราฟของฟังก์ชัน มาหาสองประเด็นกัน การเลือกศูนย์เป็นจุดใดจุดหนึ่งจะเป็นประโยชน์
ถ้าอย่างนั้น
ลองพิจารณาอีกประเด็นหนึ่ง เช่น 1
ถ้าอย่างนั้น
เมื่อทำงานเสร็จมักจะสรุปพิกัดของจุดต่างๆ ไว้ในตาราง:
และค่าต่างๆ จะถูกคำนวณด้วยวาจาหรือแบบร่างซึ่งเป็นเครื่องคิดเลข
พบสองจุด มาวาดรูปกัน:
เมื่อเตรียมภาพวาด เราจะเซ็นชื่อกราฟิกเสมอ.
มันจะมีประโยชน์ในการจำกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น:
สังเกตว่าฉันวางลายเซ็นอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อศึกษาภาพวาด- ในกรณีนี้ การวางลายเซ็นไว้ข้างจุดตัดของเส้นหรือที่มุมขวาล่างระหว่างกราฟเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่ง
1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ () เรียกว่า สัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น, . กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นตรงจึงง่ายขึ้น - การหาเพียงจุดเดียวก็เพียงพอแล้ว
2) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันจะถูกพล็อตทันทีโดยไม่พบจุดใดๆ นั่นคือ ควรเข้าใจรายการดังนี้: “ค่า y จะเท่ากับ –4 เสมอ สำหรับค่า x ใดๆ ก็ตาม”
3) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันก็จะถูกพล็อตทันทีเช่นกัน ควรทำความเข้าใจรายการดังนี้: “x เสมอ สำหรับค่า y ใดๆ เท่ากับ 1”
บางคนก็จะถามว่าทำไมถึงจำชั้น ป.6 ได้! มันก็เป็นเช่นนั้น บางทีก็เป็นเช่นนั้น แต่ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการฝึกฝน ฉันได้พบกับนักเรียนดีๆ หลายสิบคนที่รู้สึกงุนงงกับงานสร้างกราฟแบบ or
การสร้างเส้นตรงเป็นการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อวาดภาพ
เส้นตรงจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในหลักสูตรเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ และผู้ที่สนใจสามารถดูบทความได้ สมการของเส้นตรงบนระนาบ.
กราฟของกำลังสอง ฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟของพหุนาม
พาราโบลา กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง () แสดงถึงพาราโบลา พิจารณากรณีที่มีชื่อเสียง:
ลองนึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันกัน
ดังนั้น วิธีแก้สมการของเรา: – ณ จุดนี้เองที่จุดยอดของพาราโบลาอยู่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น สามารถเรียนรู้ได้จากบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเรื่องเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน ในระหว่างนี้ มาคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของ "Y":
ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่จุดนั้น
ตอนนี้เราพบจุดอื่นๆ ในขณะที่ใช้ความสมมาตรของพาราโบลาอย่างโจ่งแจ้ง ควรสังเกตว่าฟังก์ชั่น – ไม่เท่ากันแต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครยกเลิกสมมาตรของพาราโบลาได้
ส่วนจะหาแต้มที่เหลือจะเป็นอย่างไรผมว่าน่าจะชัดเจนจากตารางสุดท้ายครับ
อัลกอริธึมการก่อสร้างนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นหลักการ "กระสวย" หรือ "ไปมา" กับ Anfisa Chekhova
มาวาดรูปกันเถอะ:
จากกราฟที่ตรวจสอบ คุณลักษณะที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือ:
สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง () ต่อไปนี้เป็นจริง:
ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น.
ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง.
ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับเส้นโค้งหาได้จากบทเรียนไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา
ฟังก์ชันกำหนดพาราโบลาลูกบาศก์มาให้ นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:
ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน
กราฟของฟังก์ชัน
มันแสดงถึงกิ่งหนึ่งของพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของไฮเปอร์โบลาที่
มันจะเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่หากเมื่อคุณวาดรูปวาด คุณปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับอย่างไม่ระมัดระวัง
ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าไฮเปอร์โบลา ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.
ลองตรวจสอบฟังก์ชันที่ระยะอนันต์: นั่นคือถ้าเราเริ่มเคลื่อนที่ไปตามแกนไปทางซ้าย (หรือขวา) ไปจนถึงระยะอนันต์ "เกม" จะอยู่ในขั้นตอนที่เป็นระเบียบ ปิดอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเข้าใกล้ศูนย์ และกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาก็ตามมาด้วย ปิดอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเข้าใกล้แกน
แกนก็คือ เส้นกำกับแนวนอน สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า "x" มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์
ฟังก์ชั่นคือ แปลกดังนั้นไฮเปอร์โบลาจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ข้อเท็จจริงนี้ชัดเจนจากภาพวาด นอกจากนี้ยังตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ได้อย่างง่ายดาย: .
กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ () แสดงถึงสองกิ่งของไฮเปอร์โบลา.
ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในพิกัดไตรมาสที่หนึ่งและสาม(ดูภาพด้านบน)
ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่สองและสี่.
รูปแบบที่ระบุของที่อยู่อาศัยไฮเปอร์โบลานั้นง่ายต่อการวิเคราะห์จากมุมมองของการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ
ตัวอย่างที่ 3
สร้างกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลา
เราใช้วิธีการก่อสร้างแบบ point-wise และมีข้อดีในการเลือกค่าเพื่อให้สามารถหารทั้งหมดได้:
มาวาดรูปกันเถอะ:
การสร้างกิ่งด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลาไม่ใช่เรื่องยาก ความแปลกของฟังก์ชันจะช่วยได้ โดยคร่าวแล้ว ในตารางการสร้างแบบ pointwise เราบวกลบกับแต่ละตัวเลขในใจ ใส่จุดที่สอดคล้องกันแล้ววาดกิ่งที่สอง
ข้อมูลเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นที่พิจารณามีอยู่ในบทความไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ในส่วนนี้ ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันที เนื่องจากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงใน 95% ของกรณี เลขชี้กำลังจะปรากฏขึ้น
ฉันขอเตือนคุณว่านี่คือจำนวนอตรรกยะ: สิ่งนี้จะต้องใช้ในการสร้างกราฟซึ่งอันที่จริงฉันจะสร้างโดยไม่มีพิธีการ สามแต้มก็น่าจะเพียงพอแล้ว:
ปล่อยให้กราฟของฟังก์ชันอยู่คนเดียวก่อน แล้วเราจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
กราฟฟังก์ชัน ฯลฯ โดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะเหมือนกัน
ฉันต้องบอกว่ากรณีที่สองเกิดขึ้นไม่บ่อยนักในทางปฏิบัติ แต่ก็เกิดขึ้นจริง ดังนั้นฉันจึงถือว่าจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
พิจารณาฟังก์ชันที่มีลอการิทึมธรรมชาติ
มาวาดภาพแบบจุดต่อจุดกัน:
หากคุณลืมว่าลอการิทึมคืออะไร โปรดดูหนังสือเรียนในโรงเรียนของคุณ
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
โดเมน:
ช่วงของค่า: .
ฟังก์ชันไม่ได้จำกัดขอบเขตจากด้านบน แม้ว่าสาขาของลอการิทึมจะค่อยๆ ขยายไปถึงอนันต์ก็ตาม
ให้เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: - แกนก็คือ เส้นกำกับแนวตั้ง
สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่ "x" มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา
จำเป็นต้องรู้และจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .
โดยหลักการแล้ว กราฟของลอการิทึมถึงฐานจะมีลักษณะเหมือนกัน: , , (ลอการิทึมฐานสิบถึงฐาน 10) เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งฐานมีขนาดใหญ่เท่าใด กราฟก็จะยิ่งแบนมากขึ้นเท่านั้น
เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ ฉันจำไม่ได้ว่าครั้งสุดท้ายที่ฉันสร้างกราฟด้วยพื้นฐานดังกล่าว และลอการิทึมดูเหมือนจะพบได้น้อยมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง
ในตอนท้ายของย่อหน้านี้ ฉันจะพูดข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม– เหล่านี้เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันสองฟังก์ชัน- หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่านี่คือเลขชี้กำลังเดียวกัน เพียงแต่มีตำแหน่งแตกต่างออกไปเล็กน้อย
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การทรมานตรีโกณมิติเริ่มต้นที่โรงเรียนที่ไหน? ขวา. จากไซน์
ลองพลอตฟังก์ชันกัน
เส้นนี้เรียกว่า ไซนัสอยด์.
ฉันขอเตือนคุณว่า “pi” เป็นจำนวนอตรรกยะ และในวิชาตรีโกณมิติ มันทำให้ดวงตาของคุณตาพร่า
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
ฟังก์ชั่นนี้คือ เป็นระยะๆด้วยระยะเวลา มันหมายความว่าอะไร? มาดูส่วนกัน ทางด้านซ้ายและขวาของกราฟ ส่วนเดียวกันของกราฟจะถูกทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
โดเมน: นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ ของ “x” จะมีค่าไซน์
ช่วงของค่า: . ฟังก์ชั่นคือ ถูก จำกัด: นั่นคือ "ผู้เล่น" ทั้งหมดนั่งในส่วนนี้อย่างเคร่งครัด
สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น: หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือมันเกิดขึ้น แต่สมการเหล่านี้ไม่มีคำตอบ
มาดูวิธีการตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้กราฟกัน ปรากฎว่าเมื่อดูกราฟเราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจได้ กล่าวคือ:
- โดเมนของฟังก์ชัน
- ช่วงฟังก์ชัน
- ฟังก์ชันศูนย์
- ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง
- คะแนนสูงสุดและต่ำสุด
- ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์
มาชี้แจงคำศัพท์กัน:
แอบซิสซาคือพิกัดแนวนอนของจุด
บวช- พิกัดแนวตั้ง
แกนแอบซิสซา- แกนนอนส่วนใหญ่มักเรียกว่าแกน
แกน Y- แกนตั้งหรือแกน
การโต้แย้ง- ตัวแปรอิสระที่ค่าฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ ส่วนใหญ่มักระบุ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราเลือก แทนที่ฟังก์ชันลงในสูตรและรับ
โดเมนฟังก์ชั่น - ชุดของค่าอาร์กิวเมนต์เหล่านั้น (และเฉพาะเหล่านั้น) ที่มีฟังก์ชันอยู่
ระบุโดย: หรือ .
ในรูปของเรา โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซ็กเมนต์ อยู่ในส่วนนี้ที่วาดกราฟของฟังก์ชัน นี่เป็นที่เดียวที่มีฟังก์ชันนี้อยู่
ช่วงฟังก์ชันคือชุดของค่าที่ตัวแปรรับ ในรูปของเรา นี่คือส่วน - จากค่าต่ำสุดไปจนถึงค่าสูงสุด
ฟังก์ชันศูนย์- จุดที่ค่าของฟังก์ชันเป็นศูนย์นั่นคือ ในรูปของเรานี่คือจุด และ .
ค่าฟังก์ชันเป็นบวกที่ไหน . ในรูปของเรานี่คือช่วงเวลา และ
ค่าฟังก์ชันเป็นลบที่ไหน . สำหรับเรา นี่คือช่วงเวลา (หรือช่วงเวลา) จาก ถึง
แนวคิดที่สำคัญที่สุด - ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลดในบางชุด เมื่อรวมกันเป็นเซต คุณสามารถใช้เซกเมนต์ ช่วงเวลา การรวมกันของช่วงเวลา หรือเส้นจำนวนทั้งหมด
การทำงาน เพิ่มขึ้น
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งมาก ยิ่งมาก นั่นคือกราฟจะไปทางขวาและขึ้น
การทำงาน ลดลงบนเซต ถ้ามีค่าใดค่าหนึ่งและเป็นของเซต ความไม่เท่าเทียมกันจะบ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกัน
สำหรับฟังก์ชันที่ลดลง ค่าที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยลง กราฟไปทางขวาและลง
ในรูปของเรา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา และลดลงตามช่วงเวลา และ
มากำหนดกันว่ามันคืออะไร จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.
จุดสูงสุด- นี่คือจุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความ โดยที่ค่าของฟังก์ชันในนั้นมากกว่าจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้มันอย่างเพียงพอ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดสูงสุดคือจุดที่ค่าของฟังก์ชัน มากกว่ากว่าในบริเวณใกล้เคียง นี่คือ "เนินเขา" ในท้องถิ่นในแผนภูมิ
ในรูปของเรามีจุดสูงสุด
จุดต่ำสุด- จุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความ โดยค่าของฟังก์ชันในนั้นน้อยกว่าจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้มันอย่างเพียงพอ
นั่นคือจุดต่ำสุดคือค่าของฟังก์ชันในนั้นน้อยกว่าเพื่อนบ้าน นี่คือ "รู" ในพื้นที่บนกราฟ
ในรูปของเรามีจุดต่ำสุด
ประเด็นคือขอบเขต ไม่ใช่จุดภายในของขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่เหมาะสมกับคำจำกัดความของจุดสูงสุด ท้ายที่สุดเธอไม่มีเพื่อนบ้านทางด้านซ้าย ในทำนองเดียวกัน บนกราฟของเราไม่สามารถมีจุดต่ำสุดได้
เรียกว่าคะแนนสูงสุดและต่ำสุดรวมกัน จุดปลายสุดของฟังก์ชัน- ในกรณีของเรานี่คือ และ
จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการค้นหาเช่น ฟังก์ชั่นขั้นต่ำในส่วนนี้เหรอ? ในกรณีนี้คำตอบคือ: . เพราะ ฟังก์ชั่นขั้นต่ำคือมูลค่าของมันที่จุดต่ำสุด
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชั่นสูงสุดของเราคือ . ก็ถึงจุดนั้นแล้ว
เราสามารถพูดได้ว่าสุดขั้วของฟังก์ชันเท่ากับ และ .
บางครั้งปัญหาก็ต้องค้นหา ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนด ไม่จำเป็นต้องตรงกับความสุดขั้วเสมอไป
ในกรณีของเรา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุดบนเซ็กเมนต์จะเท่ากับและเกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันขั้นต่ำ แต่มูลค่าสูงสุดในส่วนนี้คือเท่ากับ ไปถึงที่ด้านซ้ายสุดของส่วน
ไม่ว่าในกรณีใด ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซกเมนต์จะเกิดขึ้นที่จุดปลายสุดหรือที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์
เมื่อคุณเข้าใจแล้วว่าฟังก์ชันคืออะไร (คุณอาจต้องอ่านบทเรียนมากกว่าหนึ่งครั้ง) คุณจะมั่นใจมากขึ้นในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันต่างๆ
ในบทนี้ เราจะดูวิธีแก้ปัญหาฟังก์ชันประเภทพื้นฐานและกราฟของฟังก์ชัน
วิธีรับค่าของฟังก์ชัน
ลองพิจารณางาน ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร “y = 2x − 1”
- คำนวณ "y" ที่ "x = 15"
- ค้นหาค่าของ "x" ซึ่งค่าของ "y" เท่ากับ "−19"
ในการคำนวณ "y" สำหรับ "x = 15" ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ค่าตัวเลขที่ต้องการลงในฟังก์ชันแทน "x"
บันทึกโซลูชันมีลักษณะดังนี้:
y(15) = 2 15 − 1 = 30 − 1 = 29
ในการค้นหา "x" จาก "y" ที่รู้จัก คุณต้องแทนที่ค่าตัวเลขแทน "y" ในสูตรฟังก์ชัน
ในทางกลับกัน เพื่อค้นหา "x" เราจะแทนที่ตัวเลข "−19" แทน "y" ลงในฟังก์ชัน "y = 2x − 1"
−19 = 2x - 1
เราได้รับสมการเชิงเส้นที่ไม่รู้จัก "x" ซึ่งแก้ไขได้ตามกฎสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
จดจำ!
อย่าลืมกฎการยกในสมการด้วย
เมื่อโอนจากด้านซ้ายของสมการไปทางด้านขวา (และในทางกลับกัน) ตัวอักษรหรือตัวเลขจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย ตรงข้าม.
−19 = 2x - 1
0 = 2x - 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18
เช่นเดียวกับการแก้สมการเชิงเส้น เพื่อหาสิ่งที่ไม่ทราบ ตอนนี้คุณต้องคูณ ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาไปที่ “−1” เพื่อเปลี่ยนเครื่องหมาย
−2x = 18 | · (−1)
2x = −18
ตอนนี้หารทั้งด้านซ้ายและด้านขวาด้วย "2" เพื่อค้นหา "x"
2x = 18 | (: 2)
x=9
วิธีตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันหรือไม่
ลองพิจารณางาน ฟังก์ชันได้มาจากสูตร “f(x) = 2 − 5x”
ความเท่าเทียมกัน “f(−2) = −18” จริงหรือไม่?
หากต้องการตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ คุณต้องแทนที่ค่าตัวเลข “x = −2” ลงในฟังก์ชัน “f(x) = 2 − 5x” แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่คุณได้รับจากการคำนวณ
สำคัญ!
เมื่อแทนที่จำนวนลบด้วย "x" ต้องแน่ใจว่าได้ใส่ไว้ในวงเล็บ
ผิด
ขวา
จากการคำนวณ เราได้ "f(−2) = 12"
ซึ่งหมายความว่า “f(−2) = −18” สำหรับฟังก์ชัน “f(x) = 2 − 5x” ไม่ใช่ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง
วิธีตรวจสอบว่าจุดใดเป็นของกราฟของฟังก์ชัน
พิจารณาฟังก์ชัน “y = x 2 −5x + 6”
คุณต้องค้นหาว่าจุดที่มีพิกัด (1; 2) เป็นของกราฟของฟังก์ชันนี้หรือไม่
สำหรับงานนี้ ไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด
จดจำ!
เพื่อตรวจสอบว่าจุดเป็นของฟังก์ชันหรือไม่ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่พิกัดของมันลงในฟังก์ชัน (พิกัดตามแกน "Ox" แทนที่จะเป็น "x" และประสานงานตามแกน "Oy" แทน "y")
ถ้าเป็นไปได้ ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริงซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นของฟังก์ชัน
กลับมาที่งานของเรากันดีกว่า ลองแทนที่พิกัดของจุด (1; 2) ลงในฟังก์ชัน “y = x 2 − 5x + 6”
แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ "1" แทนที่จะเป็น "y" เราแทนที่ "2"
2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (ถูกต้อง)
เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุดที่มีพิกัด (1; 2) เป็นของฟังก์ชันที่กำหนด
ทีนี้ลองตรวจสอบจุดด้วยพิกัด (0; 1) เธออยู่หรือเปล่า
ฟังก์ชัน “y = x 2 − 5x + 6”?
แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ "0" แทนที่จะเป็น "y" เราแทนที่ "1"
1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (ผิด)
ในกรณีนี้ เราไม่ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุดที่มีพิกัด (0; 1) ไม่อยู่ในฟังก์ชัน “y = x 2 − 5x + 6”
วิธีรับพิกัดของจุดฟังก์ชัน
คุณสามารถดึงพิกัดของจุดจากกราฟใดๆ ของฟังก์ชันได้ จากนั้นคุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าเมื่อแทนที่พิกัดลงในสูตรฟังก์ชันจะได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
พิจารณาฟังก์ชัน “y(x) = −2x + 1” เราได้สร้างตารางเวลาไว้แล้วในบทเรียนที่แล้ว
มาดูกราฟของฟังก์ชัน “y(x) = −2x + 1” บนกราฟ ซึ่งเท่ากับ “y” สำหรับ x = 2
ในการทำเช่นนี้จากค่า "2" บนแกน "Ox" ให้วาดตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน จากจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชันเราวาดอีกเส้นตั้งฉากกับแกน "Oy"
ค่าผลลัพธ์ “−3” บนแกน “Oy” จะเป็นค่าที่ต้องการ “y”
ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราใช้พิกัดของจุดสำหรับ x = 2 อย่างถูกต้อง
ในฟังก์ชัน “y(x) = −2x + 1”
ในการทำเช่นนี้ เราแทน x = 2 ลงในสูตรฟังก์ชัน “y(x) = −2x + 1” หากเราวาดเส้นตั้งฉากอย่างถูกต้อง เราก็ควรจะได้ y = −3 ด้วย
y(2) = −2 2 + 1 = −4 + 1 = −3
ในการคำนวณ เราได้รับ y = −3 ด้วย
ซึ่งหมายความว่าเราได้รับพิกัดจากกราฟฟังก์ชันอย่างถูกต้อง
สำคัญ!
อย่าลืมตรวจสอบพิกัดที่ได้รับทั้งหมดของจุดจากกราฟฟังก์ชันโดยการแทนที่ค่า "x" ลงในฟังก์ชัน
เมื่อคุณแทนที่ค่าตัวเลข "x" ลงในฟังก์ชัน ผลลัพธ์ควรเป็นค่าเดียวกับ "y" ที่คุณได้รับบนกราฟ
เมื่อได้รับพิกัดของจุดจากกราฟของฟังก์ชัน มีความเป็นไปได้สูงที่คุณจะทำผิดพลาดเพราะ การวาดเส้นตั้งฉากกับแกนทำได้โดยใช้ตา
การแทนที่ค่าลงในสูตรฟังก์ชันเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ
1. ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบเศษส่วนและกราฟ
ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนาม เรียกว่า ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
คุณคงคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะอยู่แล้ว เช่นเดียวกัน ฟังก์ชันตรรกยะเป็นฟังก์ชันที่สามารถแสดงเป็นผลหารของพหุนามสองตัวได้
หากฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนเป็นผลหารของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน - พหุนามของดีกรีแรกคือ ฟังก์ชั่นของแบบฟอร์ม
y = (ax + b) / (cx + d) จากนั้นเรียกว่าเศษส่วนเชิงเส้น
โปรดทราบว่าในฟังก์ชัน y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (ไม่เช่นนั้นฟังก์ชันจะกลายเป็นเส้นตรง y = ax/d + b/d) และ a/c ≠ b/d (มิฉะนั้น ฟังก์ชันคงที่) ฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = -d/c กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบเศษส่วนไม่มีรูปร่างแตกต่างจากกราฟ y = 1/x ที่คุณทราบ เส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x เรียกว่า อติพจน์- เมื่อค่าสัมบูรณ์เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ฟังก์ชัน y = 1/x จะลดลงอย่างไม่จำกัดในค่าสัมบูรณ์ และกิ่งทั้งสองของกราฟจะเข้าใกล้เส้น Abscissa โดยกราฟทางขวาเข้าใกล้จากด้านบน และกราฟทางซ้ายจากด้านล่าง เส้นตรงที่เรียกว่ากิ่งก้านของแนวทางไฮเปอร์โบลา เส้นกำกับ.
ตัวอย่างที่ 1
y = (2x + 1) / (x – 3)
สารละลาย.
ลองเลือกทั้งส่วน: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3)
ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: เลื่อนไป 3 ส่วนหน่วยไปทางขวา ยืดไปตามแกน Oy 7 ครั้ง และเลื่อนไป 2 ส่วนของหน่วยขึ้นไป
เศษส่วนใดๆ y = (ax + b) / (cx + d) สามารถเขียนได้ในลักษณะเดียวกัน โดยเน้นที่ "ส่วนจำนวนเต็ม" ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนทั้งหมดจึงเป็นไฮเปอร์โบลา ซึ่งเลื่อนไปในรูปแบบต่างๆ ตามแกนพิกัด และยืดไปตามแกน Oy
ในการสร้างกราฟของฟังก์ชันเศษส่วน-เชิงเส้นใดๆ ก็ตาม ไม่จำเป็นต้องแปลงเศษส่วนที่กำหนดฟังก์ชันนี้เลย เนื่องจากเรารู้ว่ากราฟเป็นไฮเปอร์โบลา จึงเพียงพอที่จะหาเส้นตรงที่กิ่งก้านของกราฟเข้าใกล้ นั่นคือเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา x = -d/c และ y = a/c
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน y = (3x + 5)/(2x + 2)
สารละลาย.
ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้ที่ x = -1 ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง x = -1 ทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ในการค้นหาเส้นกำกับแนวนอน เรามาดูกันว่าค่าของฟังก์ชัน y(x) เข้าใกล้ค่าใดเมื่ออาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้นเป็นค่าสัมบูรณ์
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x)
เมื่อ x → ∞ เศษส่วนจะมีแนวโน้มเป็น 3/2 ซึ่งหมายความว่าเส้นกำกับแนวนอนคือเส้นตรง y = 3/2
ตัวอย่างที่ 3
สร้างกราฟฟังก์ชัน y = (2x + 1)/(x + 1)
สารละลาย.
เรามาเลือก “ทั้งหมด” ของเศษส่วนกัน:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1)
ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: การเลื่อนไปทางซ้าย 1 หน่วย การแสดงแบบสมมาตรเทียบกับ Ox และการเปลี่ยนแปลงโดย แบ่งหน่วย 2 หน่วยขึ้นไปตามแกน Oy
โดเมน D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞)
ช่วงของค่า E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞)
จุดตัดกับแกน: c Oy: (0; 1); ค อ็อกซ์: (-1/2; 0) ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงของโดเมนคำจำกัดความ
คำตอบ: รูปที่ 1
2. ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าค่าแรก
ตัวอย่างของฟังก์ชันตรรกยะดังกล่าว:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) หรือ y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3)
ถ้าฟังก์ชัน y = P(x) / Q(x) แทนค่าผลหารของพหุนามสองตัวที่มีดีกรีสูงกว่าฟังก์ชันแรก ตามกฎแล้วกราฟของมันจะซับซ้อนกว่า และบางครั้งอาจเป็นเรื่องยากที่จะสร้างมันให้แม่นยำ พร้อมรายละเอียดทั้งหมด อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งก็เพียงพอแล้วที่จะใช้เทคนิคที่คล้ายกับที่เราได้แนะนำไปแล้วข้างต้น
ให้เศษส่วนเป็นเศษส่วนแท้ (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (ม. 1 x + N 1) / (x 2 +p เสื้อ x + q เสื้อ) m1 + … + (ม. ม.1 x + N ม.1) / (x 2 +พี เสื้อ x + q เสื้อ)
แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันเศษส่วนเชิงตรรกศาสตร์สามารถหาได้จากผลรวมของกราฟของเศษส่วนเบื้องต้น
การพล็อตกราฟของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
ลองพิจารณาหลายวิธีในการสร้างกราฟของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 4
สร้างกราฟฟังก์ชัน y = 1/x 2
สารละลาย.
เราใช้กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 เพื่อสร้างกราฟที่มี y = 1/x 2 และใช้เทคนิค "หาร" กราฟ
โดเมน D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞)
ช่วงของค่า E(y) = (0; +∞)
ไม่มีจุดตัดกับแกน ฟังก์ชันเป็นคู่ เพิ่มขึ้นสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วงเวลา (-∞; 0) ลดลงสำหรับ x จาก 0 ถึง +∞
คำตอบ: รูปที่ 2
ตัวอย่างที่ 5
สร้างกราฟฟังก์ชัน y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x)
สารละลาย.
โดเมน D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞)
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
ในที่นี้เราใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบ การลดลง และการลดลงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
คำตอบ: รูปที่ 3
ตัวอย่างที่ 6
สร้างกราฟฟังก์ชัน y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1)
สารละลาย.
ขอบเขตของคำจำกัดความคือ D(y) = R เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ กราฟจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด ก่อนที่จะสร้างกราฟ มาแปลงนิพจน์อีกครั้งโดยเน้นส่วนทั้งหมด:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1)
โปรดทราบว่าการแยกส่วนจำนวนเต็มออกจากสูตรของฟังก์ชันเศษส่วนเป็นเหตุผลหลักในการสร้างกราฟ
ถ้า x → ±∞ ดังนั้น y → 1 เช่น เส้นตรง y = 1 เป็นเส้นกำกับแนวนอน
คำตอบ: รูปที่ 4
ตัวอย่างที่ 7
ลองพิจารณาฟังก์ชัน y = x/(x 2 + 1) แล้วลองค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดอย่างแม่นยำ เช่น จุดสูงสุดบนครึ่งขวาของกราฟ การสร้างกราฟนี้อย่างถูกต้องแม่นยำ ความรู้ในปัจจุบันยังไม่เพียงพอ แน่นอนว่าเส้นโค้งของเราไม่สามารถ "ขึ้น" สูงมากได้เพราะว่า ตัวส่วนเริ่ม "แซง" ตัวเศษอย่างรวดเร็ว ลองดูว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับ 1 ได้หรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราต้องแก้สมการ x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 สมการนี้ไม่มีรากจริง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง ในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องหาว่าสมการ A = x/(x 2 + 1) มีค่าเท่าใดในสมการ A = x/(x 2 + 1) ลองแทนที่สมการเดิมด้วยสมการกำลังสอง: Ax 2 – x + A = 0 สมการนี้มีคำตอบเมื่อ 1 – 4A 2 ≥ 0 จากตรงนี้ เราจะพบค่าที่ใหญ่ที่สุด A = 1/2
คำตอบ: รูปที่ 5, สูงสุด y(x) = ½
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชันใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา