يجب أن يكون هناك بعض المجموعة ك، تتكون من عدد محدود من الوظائف المنطقية. تراكب الوظائف من هذه المجموعة هو الوظائف الجديدة التي يتم الحصول عليها من خلال تطبيق عدد محدود من العمليتين؛

يمكنك إعادة تسمية أي متغير مضمن في دالة من ك;

بدلاً من أي متغير يمكنك وضع دالة من المجموعة كأو تراكب تم تشكيله مسبقًا.

ويسمى التراكب أيضًا وظيفة معقدة.

مثال 7. 1. إذا أعطيت وظيفة واحدة X|ذ(سكتة شيفر)، فإن تراكباتها، على وجه الخصوص، ستكون الوظائف التالية س|س,س|(س|ص),س|(ص|ض) إلخ.

بالإغلاقمجموعة من الوظائف من كتسمى مجموعة جميع التراكبات. فئة الوظيفة كمُسَمًّى مغلق، إذا تزامن إغلاقه مع نفسه.

تسمى مجموعة الوظائف مكتملإذا كان إغلاقه يتزامن مع جميع الوظائف المنطقية. بمعنى آخر، المجموعة الكاملة هي مجموعة من هذه الوظائف التي يمكن من خلالها التعبير عن جميع الوظائف المنطقية الأخرى.

تسمى المجموعة الكاملة غير الزائدة من الوظائف بالأساس("غير زائدة عن الحاجة" تعني أنه إذا تمت إزالة بعض الوظائف من المجموعة، فلن تكون هذه المجموعة مكتملة بعد الآن).

مثال 7.2. إن أدوات الاقتران والانفصال والنفي هي مجموعة كاملة (كنا مقتنعين بذلك في القسم 5)، ولكنها ليست أساسًا، حيث أن هذه المجموعة زائدة عن الحاجة، حيث أنه باستخدام قواعد دي مورجان يمكن للمرء إزالة أدوات الاقتران أو الانفصال. يمكن تمثيل أي دالة على أنها متعددة حدود Zhegalkin (القسم 6). من الواضح أن اقتران الدوال ووحدة الجمع 2 والثوابت 0 و1 هي مجموعة كاملة، ولكن هذه الوظائف الأربع ليست أيضًا أساسًا، حيث أن 1+1=0، وبالتالي يمكن استبعاد الثابت 0 من المجموعة الكاملة set (لإنشاء كثيرات الحدود، يعد ثابت Zhegalkin 0 ضروريًا لأن التعبير "1+1" ليس كثير حدود Zhegalkin).

من السهل أن نرى أن إحدى الطرق للتحقق من اكتمال بعض المجموعات لهو التحقق من إمكانية استخدام الوظائف من هذه المجموعة للتعبير عن وظائف مجموعة كاملة أخرى (يمكنك التحقق من تلك الوظائف من ليمكن للمرء أن يعبر عن الارتباط والنفي أو الانفصال والنفي.

هناك وظائف بحيث تكون إحدى هذه الوظائف في حد ذاتها أساسًا (هنا يكفي التحقق من الاكتمال فقط؛ وعدم التكرار واضح). تسمى هذه الوظائف وظائف شيفر. يرجع هذا الاسم إلى حقيقة أن ضربة شيفر هي الأساس. تذكر أن عدد شيفر يتم تعريفه بواسطة جدول الحقيقة التالي:

وبما أنه واضح، أي أن النفي هو تراكب لضربة شيفر، والانفصال إذن ، السكتة الدماغية شيفر هي في حد ذاتها الأساس. وبالمثل، فإن سهم بيرس هو دالة شيفر (يمكن للطلاب التحقق من ذلك بأنفسهم). بالنسبة للدوال المكونة من 3 متغيرات أو أكثر، هناك الكثير من دوال Sheffer (بالطبع، يعد التعبير عن دوال منطقية أخرى من خلال دالة Sheffer لعدد كبير من المتغيرات أمرًا صعبًا، لذلك نادرًا ما يتم استخدامها في التكنولوجيا).

لاحظ أن جهاز الحوسبة يعتمد في أغلب الأحيان على مجموعة كاملة من الوظائف (غالبًا على قواعد). إذا كان الجهاز يعتمد على الاقتران والانفصال والنفي، فإن مشكلة تصغير DNF مهمة لهذه الأجهزة؛ إذا كان الجهاز يعتمد على وظائف أخرى، فمن المفيد أن تكون قادرًا على تقليل التعبيرات من خلال هذه الوظائف خوارزميًا.

دعنا ننتقل الآن إلى توضيح اكتمال مجموعات محددة من الوظائف. للقيام بذلك، قمنا بإدراج أهم 5 فئات من الوظائف:

• ت 0 هي مجموعة كل تلك الوظائف المنطقية التي تأخذ القيمة 0 في مجموعة الصفر ( ت 0 هي فئة الوظيفة، الحفاظ على 0);
• ت 1 هي مجموعة جميع الوظائف المنطقية التي تأخذ القيمة 1 في مجموعة الوحدة ( ت 1 هي فئة دالة، وحدة الحفظ) (لاحظ أن عدد الوظائف من صالمتغيرات التي تنتمي إلى الفئتين T 0 و T 1 تساوي 2 2n-1)؛
• ل- فصل خطيالوظائف، أي الوظائف التي يحتوي متعدد الحدود Zhegalkin فيها فقط على الدرجات الأولى من المتغيرات؛
• م- فصل رتيبالمهام. دعونا نصف فئة هذه الوظائف بمزيد من التفصيل. يجب أن يكون هناك مجموعتين من صالمتغيرات: s1 = (x 1, x 2,..., x n)

ق 1 = ( X 1 , X 2 , … , س ن) و 2 = (ذ 1 , ذ 2, … , ص ص). سنقول أن المجموعة s 1 أقل من المجموعة s 2 (s 1 £ s 2 )، إذا كانت جميعها x i £ y i .ومن الواضح، ليس كل مجموعات منصالمتغيرات قابلة للمقارنة مع بعضها البعض (على سبيل المثال، متىن = 2 المجموعتان (0،1) و (1،0) غير قابلتين للمقارنة مع بعضهما البعض). وظيفة منصتسمى المتغيراترتيب, إذا كان في مجموعة أصغر فإنه يأخذ قيمة أقل أو مساوية. وبطبيعة الحال، لا ينبغي اختبار هذه التفاوتات إلا على مجموعات قابلة للمقارنة. من الواضح أن المجموعات غير القابلة للمقارنة هي تلك التي يوجد فيها بعض الإحداثيات من النوع (0,1) في مجموعة واحدة و(1,0) في مجموعة أخرى في الأماكن المقابلة (في الرياضيات المنفصلة، ​​تعد الوظائف الرتيبة مجرد "وظائف متزايدة بشكل رتيب" ، لا يتم أخذ الوظائف "المتناقصة بشكل رتيب" في الاعتبار هنا).

مثال. في الجدول التالي الوظائف F 1 ,F 2 هي وظائف رتيبة، والوظائف F 3 ,F 4 - لا.

يتم ضمان الترتيب الطبيعي للمتغيرات من خلال حقيقة أنه إذا كانت مجموعة ما أصغر من مجموعة أخرى، فمن الضروري أن تكون موجودة في جدول الحقيقة أعلىمجموعة "أكبر". لهذا إذا كان في جدول الحقيقة()هناك أصفار في الأعلى,ومن ثم الوحدات,فإن هذه الوظيفة رتيبة بالتأكيد.ومع ذلك، فإن الانقلابات ممكنة، أي أن واحدًا يأتي قبل بعض الأصفار, لكن الوظيفة لا تزال رتيبة(في هذه الحالة يجب أن تكون المجموعات المقابلة للصفر "العلوي" والصفر "الأدنى". لا تضاهى; يمكن للمرء التحقق من أن الوظيفة التي قدمها جدول الحقيقة مع الترتيب الطبيعي لمجموعة المتغيرات(00010101)، رتيب)؛

نظرية .فئات الدالة T 0 ,ت 1 ,ل,م,س مغلقة.

يأتي هذا البيان مباشرة من تعريف هذه الفئات نفسها، وكذلك من تعريف الانغلاق.

في نظرية الدوال البوليانية، تعتبر نظرية ما بعد التالية مهمة جدًا.

نظرية بوست .لكي تكتمل مجموعة من الوظائف K، من الضروري والكافي أن تتضمن وظائف لا تنتمي إلى كل فئة من الفئات T 0 ,ت 1 ,ل,م,س.

لاحظ أن ماذا ضروري هذا صياغات بديهي لذا كيف لو هذا كل شئ المهام من توظيف لمتضمنة الخامس واحد من المدرجة الطبقات، الذي - التي و الجميع التراكبات, أ وسائل، و دائرة مقصورة توظيف متضمنة كان الخامس هذا فصل و فصل للا استطاع يكون ممتلىء.

قدرة هذا صياغات مثبت كافٍ صعب، لهذا لا يظهر هنا.

من هذه النظرية تتبع طريقة بسيطة إلى حد ما لتحديد مدى اكتمال مجموعة معينة من الوظائف. ولكل وظيفة من هذه الوظائف، يتم تحديد العضوية في الفئات المذكورة أعلاه. يتم إدخال النتائج في ما يسمى جدول المشاركات(في مثالنا، تم تجميع هذا الجدول لأربع وظائف، وتشير علامة "+" إلى أن الوظيفة تنتمي إلى الفئة المقابلة، وعلامة "-" تعني أن الوظيفة غير مدرجة فيها).

وفقًا لنظرية بوست، ستكون مجموعة الوظائف كاملة إذا وفقط إذا كان هناك ناقص واحد على الأقل في كل عمود من جدول النشر. وهكذا يتبين من الجدول أعلاه أن هذه الوظائف الأربع تشكل مجموعة كاملة، لكن هذه الوظائف ليست أساسًا. من هذه الوظائف يمكنك تشكيل قاعدتين: F 3 ,F 1 و F 3 ,F 2. المجموعات الكاملة هي أي مجموعات تحتوي على بعض الأساس.

يستنتج مباشرة من جدول Post أن عدد الوظائف الأساسية لا يمكن أن يزيد عن 5. وليس من الصعب إثبات أن هذا العدد في الواقع أقل من أو يساوي 4.

يجب أن تكون هناك وظيفتان:

: A→B وg: D→F

دع مجال التعريف D للدالة g يتم تضمينه في مجال قيم الدالة f (DB). ثم يمكنك تحديد وظيفة جديدة - التراكب (التركيب، الوظيفة المعقدة)وظائف و و ز: ض= ز( (س)).

أمثلة. f(x)=x 2 , g(x)=e x . و:R →R، ز:R →R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

تعريف

يجب أن يكون هناك وظيفتين. ثم تكوينها هو الوظيفة المحددة بالمساواة:

خصائص التكوين

التكوين ترابطي:

لو F= معرف X- رسم الخرائط متطابقة ل X، إنه

.

لو ز= معرف ي- رسم الخرائط متطابقة ل ي، إنه

.

خصائص إضافية

مجموعات معدودة وغير معدودة.

تتكون مجموعتان محدودتان من عدد متساوٍ من العناصر إذا أمكن إنشاء تطابق واحد لواحد بين هذه المجموعات. عدد عناصر المجموعة المنتهية هو أصل المجموعة.

بالنسبة لمجموعة لا نهائية، يمكن للمرء إنشاء مراسلات فردية بين المجموعة بأكملها وجزئها.

أبسط المجموعات اللانهائية هي المجموعة N.

تعريف.يتم استدعاء المجموعتين A و B مقابل(أب)، إذا أمكن إنشاء مراسلة فردية بينهما.

إذا كانت مجموعتان محدودتان متكافئتان، فإنهما تتكونان من نفس عدد العناصر.

إذا كانت المجموعتان A وB المكافئتان لبعضهما البعض عشوائية، فسيقولون أن A وB لهما نفس الشيء قوة. (القوة = التكافؤ).

بالنسبة للمجموعات المحدودة، يتزامن مفهوم العلاقة الأساسية مع مفهوم عدد عناصر المجموعة.

تعريف.المجموعة تسمى معدودة، إذا كان من الممكن إنشاء تطابق واحد لواحد بينها وبين مجموعة الأعداد الطبيعية. (أي أن المجموعة المعدودة تكون لا نهائية، أي ما يعادل المجموعة N).

(أي أنه يمكن ترقيم جميع عناصر المجموعة المعدودة).

خصائص علاقة تكافؤ القوى.

1) أأ - الانعكاسية.

2) AB، ثم BA – التماثل.

3) AB وBC، إذن AC هي العبورية.

أمثلة.

1) n → 2n، 2،4،6،… - حتى المواد الطبيعية

2) n→2n-1, 1,3,5,… - تلك الطبيعية الغريبة.

خصائص المجموعات المعدودة.

1. المجموعات الفرعية اللانهائية لمجموعة قابلة للعد قابلة للعد.

دليل. لأن A قابل للعد، ثم A: x 1, x 2,... - تم تعيينه من A إلى N.

ВА, В: →1,→2,… - تم تعيين كل عنصر من عناصر B لعدد طبيعي، أي. تم تعيين B إلى N. وبالتالي فإن B قابل للعد. إلخ.

2. إن اتحاد نظام محدود (معدود) من مجموعات قابلة للعد هو أمر قابل للعد.

أمثلة.

1. مجموعة الأعداد الصحيحة Z قابلة للعد، لأن يمكن تمثيل المجموعة Z كاتحاد للمجموعات المعدودة A وB، حيث A: 0,1,2,.. وB: -1,-2,-3,...

2. الكثير أمرأزواج ((m,n): m,nZ) (أي (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد.

س=. يمكن إنشاء تطابق واحد لواحد بين مجموعة الكسور غير القابلة للاختزال Q ومجموعة الأزواج المرتبة:

الذي - التي. المجموعة Q تعادل المجموعة ((p,q))((m,n)).

المجموعة ((m,n)) – مجموعة جميع الأزواج المرتبة – قابلة للعد. وبالتالي، فإن المجموعة ((p,q)) قابلة للعد، وبالتالي فإن Q قابلة للعد.

تعريف.الرقم غير العقلاني هو عدد عشري لا نهائي غير دوريةالكسر، أي  0 , 1  2 …

مجموعة جميع الكسور العشرية تشكل المجموعة أرقام حقيقية (حقيقية).

مجموعة الأعداد غير المنطقية غير قابلة للعد.

النظرية 1. مجموعة الأعداد الحقيقية من المجال (0،1) هي مجموعة غير قابلة للعد.

دليل. لنفترض العكس، أي. أن جميع الأرقام في الفترة (0،1) يمكن ترقيمها. ثم، بكتابة هذه الأعداد على شكل كسور عشرية لا نهائية، نحصل على التسلسل:

س 1 =0,أ 11 أ 12 ...أ 1ن ...

× 2 =0,أ 21 أ 22 …أ 2ن …

…………………..

س ن =0,أ ن 1 أ ن 2 …أ ن …

……………………

دعونا الآن نفكر في الرقم الحقيقي x=0,b 1 b 2 …b n…، حيث b 1 هو أي رقم مختلف عن a 11، (0 و 9)، b 2 هو أي رقم مختلف عن 22، (0 و 9) ) ,…, b n - أي رقم مختلف عن nn، (0 و 9).

الذي - التي. x(0,1)، لكن xx i (i=1,…,n) لأن خلاف ذلك، ب أنا = أ ثانيا . لقد وصلنا إلى التناقض. إلخ.

النظرية 2.أي فترة للمحور الحقيقي هي مجموعة غير قابلة للعد.

النظرية 3.مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد.

يقال عن أي مجموعة تساوي مجموعة الأعداد الحقيقية أنها كذلك قوة الاستمرارية(الاستمرارية اللاتينية - مستمر، مستمر).

مثال. دعونا نبين أن الفترة لها قوة الاستمرارية.

تعرض الدالة y=tg x: →R الفاصل الزمني على خط الأعداد بأكمله (الرسم البياني).

تراكب الوظائف

تراكب الوظائف f1، ...، fm هي دالة f يتم الحصول عليها عن طريق استبدال هذه الوظائف ببعضها البعض وإعادة تسمية المتغيرات.

يجب أن يكون هناك تعيينان، علاوة على ذلك، مجموعة غير فارغة. ومن ثم فإن تراكب الوظائف أو تركيبها هو دالة محددة بالمساواة لكل منها.

مجال تعريف التراكب هو مجموعة.

تسمى الوظيفة بالوظيفة الخارجية والداخلية للتراكب.

تسمى الوظائف المقدمة كتركيبة من الوظائف "الأبسط" بالوظائف المعقدة.

من أمثلة استخدام التراكب: حل نظام من المعادلات عن طريق الاستبدال؛ إيجاد مشتقة الدالة؛ إيجاد قيمة تعبير جبري عن طريق استبدال قيم المتغيرات المحددة فيه.

وظائف العودية

العودية هي طريقة لتعريف دالة يتم فيها التعبير عن قيم الوظيفة المحددة لقيم الوسيطات العشوائية بطريقة معروفة من خلال قيم الوظيفة المحددة لقيم الوسيطات الأصغر.

وظيفة العودية البدائية

تعريف مفهوم الوظيفة العودية البدائية هو استقرائي. وهو يتألف من تحديد فئة من الوظائف العودية البدائية الأساسية وعاملين (التراكب والعودية البدائية) التي تسمح لك ببناء وظائف عودية بدائية جديدة تعتمد على الوظائف الموجودة.

تتضمن الوظائف العودية البدائية الأساسية الأنواع الثلاثة التالية من الوظائف:

الدالة الخالية هي دالة لا تحتوي على وسائط وترجع دائمًا 0 .

دالة متتالية لمتغير واحد تربط أي عدد طبيعي بالرقم الطبيعي الذي يليه مباشرة.

الوظائف، حيث، من المتغيرات n، تعيين أي مجموعة مرتبة من الأعداد الطبيعية إلى رقم من هذه المجموعة.

يتم تعريف عوامل الاستبدال والتكرار البدائية على النحو التالي:

عامل التراكب (أحيانًا عامل الاستبدال). ليكن دالة لمتغيرات m، وليكن مجموعة مرتبة من الدوال، كل منها بمتغيرات. ومن ثم فإن نتيجة تراكب الوظائف في دالة هي دالة للمتغيرات التي تربط رقمًا بأي مجموعة مرتبة من الأعداد الطبيعية.

عامل العودية البدائية. دعها تكون دالة للمتغيرات n، ودعها تكون دالة للمتغيرات. ثم تسمى نتيجة تطبيق عامل العودية البدائي على زوج من الوظائف دالة متغير النموذج؛

في هذا التعريف، يمكن فهم المتغير على أنه عداد تكرار، - كدالة أولية في بداية عملية تكرارية تنتج تسلسلًا معينًا من الوظائف المتغيرة بدءًا من، و - كمشغل يأخذ كمدخل متغير عدد خطوة التكرار، والدالة في خطوة تكرار معينة، وإرجاع الوظيفة في خطوة التكرار التالية.

مجموعة الوظائف العودية البدائية هي مجموعة صغيرة تحتوي على جميع الوظائف الأساسية ويتم إغلاقها بموجب الاستبدال المحدد ومشغلي العودية البدائية.

في مصطلحات البرمجة الأمرية، تتوافق الدوال العودية البدائية مع كتل البرامج التي تستخدم العمليات الحسابية فقط، بالإضافة إلى العامل الشرطي ومشغل الحلقة الحسابية (مشغل الحلقة الذي يكون فيه عدد التكرارات معروفًا في بداية الحلقة). إذا بدأ المبرمج في استخدام مشغل الحلقة، حيث يكون عدد التكرارات غير معروف مسبقًا، ومن حيث المبدأ، يمكن أن يكون لا نهائيًا، فإنه ينتقل إلى فئة الوظائف العودية جزئيًا.

دعونا نشير إلى عدد من الوظائف الحسابية المعروفة والتي تكون متكررة بشكل بدائي.

يمكن اعتبار دالة إضافة عددين طبيعيين () دالة عودية بدائية لمتغيرين، يتم الحصول عليها بتطبيق عامل العود البدائي على الدوال، ويتم الحصول على الثانية منها عن طريق استبدال الدالة الرئيسية في الدالة الرئيسية:

يمكن اعتبار ضرب عددين طبيعيين دالة عودية بدائية لمتغيرين، يتم الحصول عليها بتطبيق عامل العود البدائي على الدوال، ويتم الحصول على الثاني عن طريق استبدال الدوال الأساسية وفي دالة الجمع:

يمكن اعتبار الفرق المتماثل (القيمة المطلقة للفرق) بين رقمين طبيعيين () بمثابة دالة عودية بدائية لمتغيرين، يتم الحصول عليها من خلال تطبيق البدائل والتكرارات البدائية التالية:

وظيفة البناء

نحن نقدم انتباهكم إلى خدمة إنشاء الرسوم البيانية للوظائف عبر الإنترنت، وجميع الحقوق مملوكة للشركة ديسموس. استخدم العمود الأيسر لإدخال الوظائف. يمكنك الدخول يدويًا أو باستخدام لوحة المفاتيح الافتراضية الموجودة أسفل النافذة. لتكبير نافذة الرسم البياني، يمكنك إخفاء كل من العمود الأيسر ولوحة المفاتيح الافتراضية.

فوائد الرسم البياني على الانترنت

• عرض مرئي للوظائف المدخلة
• بناء رسوم بيانية معقدة للغاية
• إنشاء الرسوم البيانية المحددة ضمنيًا (على سبيل المثال، القطع الناقص x^2/9+y^2/16=1)
• إمكانية حفظ المخططات واستقبال رابط لها، مما يصبح متاحًا للجميع على الإنترنت
• التحكم في الحجم ولون الخط
• إمكانية رسم الرسوم البيانية بالنقاط باستخدام الثوابت
• رسم العديد من الرسوم البيانية الوظيفية في وقت واحد
• التآمر في الإحداثيات القطبية (استخدم r و θ(\theta))

معنا، من السهل إنشاء مخططات متفاوتة التعقيد عبر الإنترنت. يتم البناء على الفور. الخدمة مطلوبة للعثور على نقاط تقاطع الوظائف، ولتصوير الرسوم البيانية لنقلها بشكل أكبر إلى مستند Word كرسوم توضيحية عند حل المشكلات، ولتحليل السمات السلوكية للرسوم البيانية الوظيفية. المتصفح الأمثل للعمل مع المخططات على صفحة الموقع هذه هو Google Chrome. لا يتم ضمان التشغيل الصحيح عند استخدام متصفحات أخرى.

تقوم الأجهزة المنطقية المنفصلة ذات الدورة الواحدة (التي لا تحتوي على عناصر الذاكرة) بتنفيذ مجموعة معينة من وظائف الجبر المنطقي عند الإخراج `ف م =(F 1 ،F 2 ،…،ف م)، والتي تعتمد في كل لحظة فقط على حالة مدخلات الجهاز `س ن =(س 1 ،x 2 ،…،x ن): `F م = `F م(`س ن). ومن الناحية العملية، يتم تصميم وتصنيع هذه الأجهزة من عناصر منفصلة غير قابلة للتجزئة تنفذ مجموعة (نظام) معين ( F) الوظائف الأساسية للجبر عن طريق ربط مخرجات بعض العناصر بمدخلات عناصر أخرى.

عند تصميم الأجهزة المنطقية، تكون الأسئلة التالية ذات صلة.

1. يتم إعطاء نظام الوظائف الأولية ( F). ما هي وظائف الإخراج واويمكن الحصول عليها باستخدام وظائف من ( F}?

2. مجموعة من وظائف الإخراج المنطقية ( F) (على وجه الخصوص، يساوي مجموعة كاملة من وظائف الجبر المنطق ر 2). ما ينبغي أن يكون النظام الأولي للوظائف الأولية ( F) ، مما يوفر إمكانية الحصول عند الإخراج على أي من وظائف المجموعة ( F}?

لتقديم إجابة معقولة على هذه الأسئلة، يتم استخدام مفاهيم التراكب والانغلاق واكتمال أنظمة الوظائف.

تعريف.دعونا نفكر في مجموعة من الروابط المنطقية ( F) ، المقابلة لبعض أنظمة الوظائف ( F} . انتهى التراكب{F) هي أي دالة j يمكن تحقيقها بواسطة صيغة فوق ( F}.

من الناحية العملية، يمكن تمثيل التراكب كنتيجة لاستبدال الوظائف من ( F) كوسيطات لدالة من نفس المجموعة.

مثال 1. النظر في نظام الوظائف ( F} = {F 1 (X) =`س، ف 2 (س، ص)= X&ذ، ف 3 (س، ص)=XÚ ذ). الاستبدال في الدالة F 3 (س، ص) بدلاً من الوسيطة الأولى Xوظيفة F 1 (X)، بدلاً من الثاني - F 2 (س، ص) ، نحصل على التراكب ح(س، ص)=F 3 (F 1 (X)، F 2 (س، ص))=`سÚ X& في. ويرد التنفيذ المادي للاستبدال في الشكل 1.18.

تعريف.يترك م- مجموعة معينة من وظائف الجبر المنطقي ( ص 2). مجموعة جميع التراكبات انتهت ممُسَمًّى دائرة مقصورةمجموعات مويشار إليه بـ [ م]. يستلم [ م] بواسطة المجموعة الأصلية ممُسَمًّى عملية الإغلاق. مجموعة من ممُسَمًّى فئة مغلقة وظيفيا، لو [ م] = م. مجموعة فرعية مÍ ممُسَمًّى نظام كامل وظيفيا في M، لو [ م] = م.

إنهاء [ م] يمثل مجموعة الوظائف الكاملة التي يمكن الحصول عليها منها ممن خلال تطبيق عملية التراكب، أي. جميع البدائل الممكنة.

ملحوظات. 1.من الواضح أن أي نظام من الوظائف ( F) مكتمل وظيفيًا في حد ذاته.

2 . وبدون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن وظيفة الهوية F(X)=س، الذي لا يغير القيم الحقيقية للمتغيرات، هو في البداية جزء من أي نظام من الوظائف.

مثال 2. بالنسبة لأنظمة الوظائف التي تمت مناقشتها أدناه ( F) قم بما يلي:

1) العثور على الإغلاق [ F],

2) معرفة ما إذا كان النظام ( F) فئة مغلقة،

3) العثور على أنظمة كاملة وظيفيا في ( F}.

حل.

أنا. ( F}={0} . عند استبدال الدالة ( f 0) نستقبله في أنفسنا، أي. لم يتم إنشاء وظائف جديدة. هذا يعني: [ F] = {F). النظام المدروس هو فئة مغلقة وظيفيا. النظام الكامل وظيفيا فيه واحد ويساوي الكل ( F}.

ثانيا. ( F} = {0,Ø } . الاستبدال Ø (Ø X) يعطي وظيفة مماثلة لا توسع النظام الأصلي رسميًا. ومع ذلك، عند استبدال Ø (0) نحصل على وحدة مماثلة - دالة جديدة لم تكن موجودة في النظام الأصلي: Ø (0)=1 . تطبيق جميع البدائل الأخرى لا يؤدي إلى ظهور وظائف جديدة، على سبيل المثال: ØØ 0 = 0، 0(ط X)=0.

وهكذا، فإن استخدام عملية التراكب جعل من الممكن الحصول على مجموعة أوسع من الوظائف من تلك الأصلية [ F]=(0,Ø ,1). وهذا يعني إدخالًا صارمًا: ( F} Ì [ F]. نظام المصدر ( F) ليست فئة مغلقة وظيفيا. بالإضافة إلى النظام نفسه ( F) لا توجد فيها أنظمة أخرى كاملة وظيفيا، لأنه في حالة تضييقها من وظيفة واحدة و =لا يمكن إلغاء الصفر عن طريق الاستبدال، ولا يمكن الحصول على الصفر المطابق من دالة النفي وحدها.

ثالثا. ( F) = (& ,Ú ,Ø ).إغلاق هذا النظام هو مجموعة كاملة من وظائف جبر المنطق ص 2، حيث يمكن تمثيل صيغة أي منها على أنها DNF أو CNF، والتي تستخدم وظائف أولية ( F) = (&،Ú،Ø). هذه الحقيقة هي دليل بناء على اكتمال نظام الوظائف المدروس في ص 2: [F]= ف 2 .

منذ ذلك الحين في ص 2 يحتوي على عدد لا نهائي من الدوال الأخرى بخلاف ( F) = (& ,Ú ,Ø ) فهذا يعني حدوثًا صارمًا: ( F}Ì[ F]. النظام المدروس ليس فئة مغلقة وظيفيا.

بالإضافة إلى النظام نفسه، ستكون الأنظمة الفرعية مكتملة وظيفيًا ( F) 1 = (&، Ø ) و ( F) 2 = (Ú ,Ø ). يأتي هذا من حقيقة أنه باستخدام قواعد De Morgan، يمكن التعبير عن وظيفة الجمع المنطقية Ú من خلال (&، Ø)، ودالة الضرب المنطقية & من خلال (Ú، Ø):

(X & في) = Ø (` XÚ` في), (X Ú في) = Ø ( X &`في).

أنظمة فرعية أخرى كاملة وظيفيا في ( F) لا.

التحقق من اكتمال النظام الفرعي للوظيفة ( F) 1 م ( F) في جميع أنحاء النظام ( F)يمكن إنتاجها عن طريق الجمع بين ( F) 1 إلى آخر، من الواضح أنه كامل في ( F)نظام.

عدم اكتمال النظام الفرعي ( F) 1 في ( F) يمكن التحقق منها من خلال إثبات حدوث صارم لـ [ F 1 ] م [ F].

تعريف.مجموعة فرعية مÍ ممُسَمًّى أساس وظيفي(أساس)أنظمة م، لو [ م] = موبعد حذف أي وظيفة منه، لا تكتمل مجموعة الوظائف المتبقية فيه م .

تعليق. أسس نظام الوظائف (F)هي جميع أنظمتها الفرعية كاملة وظيفيا (F) 1- لا يمكن تخفيضها دون فقدان الاكتمال فيها (F).

مثال 3. بالنسبة لجميع الأنظمة المذكورة في المثال 2، ابحث عن القواعد.

حل.في الحالتين 1 و2، تكون الأنظمة نفسها فقط مكتملة وظيفيًا ومن المستحيل تضييق نطاقها. وبالتالي، فهي أيضًا قواعد.

في الحالة 3 يوجد اثنان مكتملان وظيفيًا في ( F)الأنظمة الفرعية( F) 1 = (&,Ø) و ( F) 2 =(Ú,Ø )، والتي لا يمكن اختزالها دون فقدان الاكتمال. سيكونون أساس النظام ( F} = {&,Ú,Ø}.

تعريف.السماح للنظام ( F) هي فئة مغلقة. مجموعتها الفرعية ( F) 1 م ( F) وتسمى فئة المبتدئين في{F)، لو ( F) 1 غير مكتمل في ( F} ([F 1 ] م [ F])، ولأي وظيفة j من النظام ( F)، غير متضمنة في ( F) 1 (يO( F} \ {F) 1) صحيح: [ يÈ { F} 1 ] = [F]، أي. إضافة جي كي ( F) 1 يجعلها كاملة في ( F} .

مهام

1. تحقق من إغلاق مجموعات الوظائف:

أ) (Ø)؛ ب) (1، Ø)؛ ج) ((0111)؛ (10));د) ((11101110); (0110));د) ((0001); (00000001); (0000000000000001); … ).

2. التحقق من اكتمال الأنظمة الوظيفية في ص 2:

أ) (0، Ø)؛ ب) ((0101) , (1010) ); الخامس )؛ د) ((0001) ، (1010)).

3. البحث عن خاتمة نظام الوظائف وأساسه:

أ) (0، 1، Ø)؛ ب) ((1000)، (1010)، (0101))؛ ج) ((0001)، (1110)، (10))؛ د) ((1010)، (0001)، (0111)).

1.10.2 الدوال التي تخزن الثوابت. الفئتان T 0 و T 1

تعريف.وظيفة F(`س ن) يحفظ 0 إذا F(0,..., 0) = 0. وظيفة F(`س ن) يحفظ 1 إذا F(1, ... , 1) = 1.

الكثير من الميزات نيتم الإشارة إلى المتغيرات التي تخزن 0 و 1، على التوالي، ت 0 نو ت 1 ن. جميع مجموعات وظائف الجبر المنطقي التي تحافظ على 0 و 1 , دل ت 0 و ت 1 . كل مجموعة ت 0 و ت 1 هو فصل دراسي مغلق في ر 2 .

من الوظائف الأولية إلى ت 0 و تيتم تضمين 1 في وقت واحد، على سبيل المثال، & وÚ. انتماء أي وظيفة إلى الطبقات ت 0 , تيمكن التحقق من 1 من خلال القيمة الأولى والأخيرة لمتجه القيم في جدول الحقيقة أو عن طريق استبدال الأصفار والواحدات مباشرة في الصيغة عند تحديد الدالة تحليلياً.

تعريف.ينسخهو استبدال يتم فيه استبدال نفس المتغير في دالة بدلاً من عدة متغيرات مستقلة. في هذه الحالة، ستكون قيم المتغيرات في المجموعات التي أخذت قيمًا مستقلة عن بعضها البعض في السابق هي نفسها دائمًا.

مهام

1.التحقق من عضوية الفصل ت 0 و تي 1المهام:

أ) الجمع المعمم، ب) الضرب المعمم، ج) الثوابت، د) xyÚ yz، د) X® في® xy، ه) XÅ في، و)( X 1 أ … Å Xن) ® ( ذ 1 أ … Å ذحصيرة ن، مÎ ن.

2. إثبات تقارب كل فئة ت 0 و ت 1 .

3. إثبات أنه إذا F(`س ن) Ï ت 0، ومنه، عن طريق تكرار الاستبدال، يمكنك الحصول على الثابت 1 أو النفي.

4. إثبات أنه إذا F(`س ن) Ï ت 1 ، ومنه، عن طريق تكرار الاستبدال، يمكنك الحصول على الثابت 0 أو النفي.

5. إثبات اكتمال كل فصل من الفصول ت 0 و ت 1 (على سبيل المثال، عن طريق تقليل النظام المعزز إلى ( F} = {& ,Ú ,Ø }).

6. اكتشف قوة الفصول الدراسية ت 0 نو ت 1 ن.