ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง x เท่ากับ

– จำนวนเด็กผู้ชายในจำนวนทารกแรกเกิด 10 คน

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าไม่ทราบจำนวนนี้ล่วงหน้า และเด็ก 10 คนถัดไปที่เกิดอาจรวมถึง:

หรือเด็กผู้ชาย - หนึ่งเดียวเท่านั้นจากตัวเลือกที่แสดงไว้

และเพื่อรักษารูปร่างให้มีการพลศึกษาเล็กน้อย:

– ระยะกระโดดไกล (ในบางยูนิต).

แม้แต่ผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬาก็ไม่สามารถคาดเดาได้ :)

อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของคุณ?

2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง – ยอมรับ ทั้งหมดค่าตัวเลขจากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์

บันทึก : ตัวย่อ DSV และ NSV เป็นที่นิยมในวรรณกรรมทางการศึกษา

ก่อนอื่น เรามาวิเคราะห์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกันก่อน จากนั้น - อย่างต่อเนื่อง.

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

- นี้ การโต้ตอบระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้และความน่าจะเป็น บ่อยครั้งที่กฎหมายเขียนไว้ในตาราง:

คำนี้ใช้ค่อนข้างบ่อย แถว การกระจายแต่ในบางสถานการณ์อาจฟังดูคลุมเครือ ดังนั้นฉันจะยึดติดกับ "กฎหมาย"

และตอนนี้ จุดสำคัญมาก: เนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่ม อย่างจำเป็นจะยอมรับ หนึ่งในค่านิยมจากนั้นเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องจะเกิดขึ้น เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

หรือถ้าเขียนย่อ:

ตัวอย่างเช่น กฎการกระจายความน่าจะเป็นของแต้มที่ทอยบนลูกเต๋ามีรูปแบบดังนี้:

ไม่มีความคิดเห็น.

คุณอาจรู้สึกว่าตัวแปรสุ่มแบบแยกสามารถรับเฉพาะค่าจำนวนเต็ม "ดี" เท่านั้น มาปัดเป่าภาพลวงตา - พวกมันสามารถเป็นอะไรก็ได้:

ตัวอย่างที่ 1

เกมบางเกมมีกฎการจำหน่ายที่ชนะดังต่อไปนี้:

...คุณคงจะฝันถึงงานแบบนี้มานานแล้ว :) ฉันจะบอกความลับแก่คุณ - ฉันก็เหมือนกัน โดยเฉพาะหลังจากทำงานเสร็จแล้ว ทฤษฎีภาคสนาม.

สารละลาย: เนื่องจากตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวจากสามค่า เหตุการณ์จึงจะเกิดขึ้น เต็มกลุ่มซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

การเปิดเผย "พรรคพวก":

– ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะหน่วยทั่วไปคือ 0.4

การควบคุม: นั่นคือสิ่งที่เราต้องทำให้แน่ใจ

คำตอบ:

ไม่ใช่เรื่องแปลกเมื่อคุณจำเป็นต้องร่างกฎหมายการจำหน่ายด้วยตัวเอง สำหรับสิ่งนี้พวกเขาใช้ คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น, ทฤษฎีบทการคูณ/การบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และชิปอื่นๆ เทอร์เวรา:

ตัวอย่างที่ 2

ในกล่องประกอบด้วยตั๋วลอตเตอรี 50 ใบ โดย 12 ใบถูกรางวัล และ 2 ใบในนั้นถูกรางวัลละ 1,000 รูเบิล และที่เหลือใบละ 100 รูเบิล ร่างกฎหมายสำหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม - ขนาดของเงินรางวัลหากมีการสุ่มตั๋วหนึ่งใบจากกล่อง

สารละลาย: อย่างที่คุณสังเกต ค่าของตัวแปรสุ่มมักจะถูกวางไว้ในนั้น ตามลำดับจากน้อยไปหามาก- ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นด้วยเงินรางวัลที่น้อยที่สุดนั่นคือรูเบิล

มีตั๋วทั้งหมด 50 ใบ - 12 = 38 และตาม คำจำกัดความแบบคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่ตั๋วสุ่มจะเป็นผู้แพ้

ในกรณีอื่นๆ ทุกอย่างก็เรียบง่าย ความน่าจะเป็นที่จะชนะรูเบิลคือ:

ตรวจสอบ: – และนี่เป็นช่วงเวลาที่น่ายินดีอย่างยิ่งของงานดังกล่าว!

คำตอบ: กฎการกระจายเงินรางวัลที่ต้องการ:

งานต่อไปนี้ให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 3

ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมายคือ ร่างกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม - จำนวนการเข้าชมหลังจาก 2 ช็อต

...ฉันรู้ว่าเธอคิดถึงเขา :) จำไว้นะ ทฤษฎีบทการคูณและการบวก- คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

กฎการกระจายอธิบายตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ แต่ในทางปฏิบัติ อาจมีประโยชน์ (และบางครั้งก็มีประโยชน์มากกว่า) ที่รู้เพียงบางส่วนเท่านั้น ลักษณะตัวเลข .

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

พูดง่ายๆ ก็คือ นี่คือ มูลค่าที่คาดหวังโดยเฉลี่ยเมื่อทำการทดสอบซ้ำหลายครั้ง ให้ตัวแปรสุ่มนำค่าที่มีความน่าจะเป็น ตามลำดับ จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้จะเท่ากับ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ค่าทั้งหมดตามความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

หรือยุบ:

ให้เราคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม - จำนวนคะแนนที่กลิ้งบนลูกเต๋า:

ตอนนี้เรามาจำเกมสมมุติของเรา:

คำถามเกิดขึ้น: การเล่นเกมนี้มีกำไรหรือไม่? ...ใครมีความประทับใจบ้าง? ดังนั้นคุณไม่สามารถพูดว่า "ตรงไปตรงมา" ได้! แต่คำถามนี้สามารถตอบได้อย่างง่ายดายโดยการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ โดยพื้นฐานแล้ว - ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามความน่าจะเป็นที่จะชนะ:

ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมนี้ การสูญเสีย.

อย่าเชื่อความประทับใจของคุณ - เชื่อตัวเลข!

ใช่ ที่นี่คุณสามารถชนะ 10 หรือ 20-30 ครั้งติดต่อกัน แต่ในระยะยาว ความหายนะที่หลีกเลี่ยงไม่ได้รอเราอยู่ และฉันจะไม่แนะนำให้คุณเล่นเกมแบบนี้ :) อาจจะเท่านั้น เพื่อความสนุก.

จากที่กล่าวมาทั้งหมด เป็นไปตามที่คาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่าสุ่มอีกต่อไป

งานสร้างสรรค์เพื่อการวิจัยอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

Mr. X เล่นรูเล็ตยุโรปโดยใช้ระบบต่อไปนี้: เขาเดิมพัน 100 รูเบิลอย่างต่อเนื่องกับ "สีแดง" ร่างกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - เงินรางวัล คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการชนะและปัดเศษให้เป็น kopeck ที่ใกล้ที่สุด เท่าไหร่ เฉลี่ยผู้เล่นเสียเงินเดิมพันทุก ๆ ร้อยหรือไม่?

อ้างอิง : ยูโรเปียนรูเล็ตประกอบด้วย 18 สีแดง, 18 สีดำ และ 1 สีเขียว (“ศูนย์”) หาก "สีแดง" ปรากฏขึ้น ผู้เล่นจะได้รับเงินเดิมพันสองเท่า มิฉะนั้นจะตกเป็นรายได้ของคาสิโน

มีระบบรูเล็ตอื่นๆ อีกมากมายที่คุณสามารถสร้างตารางความน่าจะเป็นของคุณเองได้ แต่ในกรณีนี้คือเมื่อเราไม่ต้องการกฎการกระจายและตารางใดๆ เนื่องจากมีการกำหนดไว้แล้วว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผู้เล่นจะเหมือนกันทุกประการ สิ่งเดียวที่เปลี่ยนจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่งคือ

แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถพิจารณาได้โดยใช้ตัวอย่างการขว้างลูกเต๋า ในการโยนแต่ละครั้ง คะแนนที่ดรอปจะถูกบันทึก ในการแสดงออกจะใช้ค่าธรรมชาติในช่วง 1 – 6

หลังจากการโยนไปจำนวนหนึ่งโดยใช้การคำนวณง่ายๆ คุณจะพบค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่ทอยได้

เช่นเดียวกับการเกิดขึ้นของค่าใดๆ ในช่วง ค่านี้จะเป็นแบบสุ่ม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเพิ่มจำนวนการขว้างหลายครั้ง? ด้วยการโยนจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนจะเข้าใกล้จำนวนเฉพาะ ซึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น ตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราหมายถึงค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ตัวบ่งชี้นี้ยังสามารถแสดงเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่ามูลค่าที่เป็นไปได้

แนวคิดนี้มีคำพ้องความหมายหลายประการ:

ค่าเฉลี่ย;
ค่าเฉลี่ย;
ตัวบ่งชี้แนวโน้มศูนย์กลาง
ช่วงแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันไม่มีอะไรมากไปกว่าตัวเลขที่มีการแจกแจงค่าของตัวแปรสุ่ม

ในกิจกรรมของมนุษย์ในด้านต่างๆ แนวทางในการทำความเข้าใจความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแตกต่างกันบ้าง

ถือได้ว่าเป็น:

ผลประโยชน์โดยเฉลี่ยที่ได้รับจากการตัดสินใจเมื่อพิจารณาการตัดสินใจดังกล่าวจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก
จำนวนการชนะหรือแพ้ที่เป็นไปได้ (ทฤษฎีการพนัน) คำนวณโดยเฉลี่ยสำหรับการเดิมพันแต่ละครั้ง ในคำสแลง ฟังดูเหมือน “ความได้เปรียบของผู้เล่น” (แง่บวกสำหรับผู้เล่น) หรือ “ความได้เปรียบของคาสิโน” (แง่ลบสำหรับผู้เล่น)
เปอร์เซ็นต์ของกำไรที่ได้รับจากการชนะ

ความคาดหวังไม่จำเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มทั้งหมด ไม่มีสำหรับผู้ที่มีความคลาดเคลื่อนในผลรวมหรือปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ทางสถิติอื่นๆ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

สูตรพื้นฐานสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถทำได้ทั้งสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีทั้งความต่อเนื่อง (สูตร A) และความไม่ต่อเนื่อง (สูตร B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi โดยที่ xi คือค่าของตัวแปรสุ่ม pi คือความน่าจะเป็น:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx โดยที่ f(x) คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่กำหนด

ตัวอย่างการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง ก.

เป็นไปได้ไหมที่จะทราบความสูงเฉลี่ยของคนแคระในเทพนิยายเกี่ยวกับสโนว์ไวท์ เป็นที่ทราบกันว่าคนแคระทั้ง 7 แต่ละคนมีความสูงที่แน่นอน: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 และ 0.81 ม.

อัลกอริธึมการคำนวณค่อนข้างง่าย:

เราค้นหาผลรวมของค่าทั้งหมดของตัวบ่งชี้การเติบโต (ตัวแปรสุ่ม):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
หารจำนวนผลลัพธ์ด้วยจำนวนโนมส์:
6,31:7=0,90.

ดังนั้น ความสูงเฉลี่ยของพวกโนมส์ในเทพนิยายคือ 90 ซม. หรืออีกนัยหนึ่ง นี่คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเติบโตของพวกโนมส์

สูตรการทำงาน - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

การนำความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไปใช้ในทางปฏิบัติ

การคำนวณตัวบ่งชี้ทางสถิติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในกิจกรรมภาคปฏิบัติต่างๆ ก่อนอื่น เรากำลังพูดถึงขอบเขตเชิงพาณิชย์ ท้ายที่สุดแล้ว การแนะนำตัวบ่งชี้นี้ของ Huygens เกี่ยวข้องกับการกำหนดโอกาสที่อาจเป็นผลดี หรือในทางกลับกัน อาจเป็นผลเสียในบางเหตุการณ์

พารามิเตอร์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการประเมินความเสี่ยง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึงการลงทุนทางการเงิน
ดังนั้นในทางธุรกิจ การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงทำหน้าที่เป็นวิธีการประเมินความเสี่ยงในการคำนวณราคา

ตัวบ่งชี้นี้ยังสามารถใช้เพื่อคำนวณประสิทธิภาพของมาตรการบางอย่าง เช่น การคุ้มครองแรงงาน ด้วยเหตุนี้คุณจึงสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้

การประยุกต์ใช้พารามิเตอร์นี้อีกด้านคือการจัดการ นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณได้ในระหว่างการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ เช่น การใช้เสื่อ ความคาดหวังคุณสามารถคำนวณจำนวนชิ้นส่วนที่ชำรุดที่ผลิตได้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้เมื่อดำเนินการประมวลผลทางสถิติของผลลัพธ์ที่ได้รับระหว่างการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ ช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ต้องการหรือไม่พึงประสงค์ของการทดลองหรือการศึกษา ขึ้นอยู่กับระดับความสำเร็จของเป้าหมาย ท้ายที่สุดแล้ว ความสำเร็จสามารถเชื่อมโยงกับกำไรและผลประโยชน์ และความล้มเหลวอาจเชื่อมโยงกับการสูญเสียหรือการสูญเสีย

การใช้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ใน Forex

การใช้งานจริงของพารามิเตอร์ทางสถิตินี้เป็นไปได้เมื่อทำธุรกรรมในตลาดแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถวิเคราะห์ความสำเร็จของธุรกรรมการค้าได้ นอกจากนี้ การเพิ่มขึ้นของค่าความคาดหวังบ่งชี้ถึงความสำเร็จที่เพิ่มขึ้น

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ควรถือเป็นพารามิเตอร์ทางสถิติเพียงตัวเดียวที่ใช้ในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของเทรดเดอร์ การใช้พารามิเตอร์ทางสถิติหลายตัวร่วมกับค่าเฉลี่ยจะช่วยเพิ่มความแม่นยำของการวิเคราะห์อย่างมาก

พารามิเตอร์นี้พิสูจน์ตัวเองได้ดีในการติดตามการสังเกตบัญชีซื้อขาย ด้วยเหตุนี้จึงสามารถประเมินงานที่ทำในบัญชีเงินฝากได้อย่างรวดเร็ว ในกรณีที่กิจกรรมของเทรดเดอร์ประสบความสำเร็จและหลีกเลี่ยงการสูญเสีย ไม่แนะนำให้ใช้การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียว ในกรณีเหล่านี้ จะไม่คำนึงถึงความเสี่ยง ซึ่งจะทำให้ประสิทธิภาพของการวิเคราะห์ลดลง

ดำเนินการศึกษากลยุทธ์ของเทรดเดอร์ระบุว่า:

กลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือกลยุทธ์ที่อิงจากการสุ่ม
กลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพน้อยที่สุดคือกลยุทธ์ที่อิงตามปัจจัยการผลิตที่มีโครงสร้าง

มีความสำคัญไม่แพ้กันในการบรรลุผลลัพธ์เชิงบวก:

กลยุทธ์การจัดการเงิน
กลยุทธ์การออก

การใช้ตัวบ่งชี้ดังกล่าวเป็นการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถคาดการณ์ได้ว่ากำไรหรือขาดทุนจะเป็นอย่างไรเมื่อลงทุน 1 ดอลลาร์ เป็นที่ทราบกันดีว่าตัวบ่งชี้นี้ซึ่งคำนวณสำหรับเกมทั้งหมดที่เล่นในคาสิโนนั้นเป็นที่โปรดปรานของสถานประกอบการ นี่คือสิ่งที่ช่วยให้คุณสร้างรายได้ ในกรณีที่มีเกมติดต่อกันเป็นเวลานาน โอกาสที่ลูกค้าจะสูญเสียเงินจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก

เกมที่เล่นโดยผู้เล่นมืออาชีพจะถูกจำกัดไว้ในช่วงเวลาสั้นๆ ซึ่งจะเพิ่มโอกาสในการชนะและลดความเสี่ยงในการแพ้ รูปแบบเดียวกันนี้จะสังเกตได้เมื่อดำเนินการลงทุน

นักลงทุนสามารถสร้างรายได้จำนวนมากโดยการมีความคาดหวังเชิงบวกและทำธุรกรรมจำนวนมากในช่วงเวลาสั้น ๆ

ความคาดหวังถือได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างเปอร์เซ็นต์ของกำไร (PW) คูณด้วยกำไรเฉลี่ย (AW) และความน่าจะเป็นของการสูญเสีย (PL) คูณด้วยการสูญเสียโดยเฉลี่ย (AL)

ตามตัวอย่าง เราสามารถพิจารณาสิ่งต่อไปนี้: ตำแหน่ง – 12.5 พันดอลลาร์ พอร์ตพอร์ต – 100,000 ดอลลาร์ ความเสี่ยงเงินฝาก – 1% ความสามารถในการทำกำไรของธุรกรรมคือ 40% ของกรณีที่มีกำไรเฉลี่ย 20% ในกรณีที่ขาดทุนจะขาดทุนเฉลี่ยอยู่ที่ 5% การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับธุรกรรมจะให้มูลค่า 625 ดอลลาร์

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง ม(ส)=ค .
2. สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้: ม(CX)=ซม.(X)
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: ม(XY)=ม(X) ม(Y)
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข: ม(X+Y)=ม(X)+ม(Y)

ทฤษฎีบท. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(x) ของจำนวนเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n รายการ เท่ากับผลคูณของการทดลองเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้ง: M(x) = np

อนุญาต เอ็กซ์ - ตัวแปรสุ่มและ เอ็ม(เอ็กซ์) – ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เราพิจารณาความแตกต่างเป็นตัวแปรสุ่มใหม่ เอ็กซ์ - ม(เอ็กซ์)

ส่วนเบี่ยงเบนคือความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ส่วนเบี่ยงเบนมีกฎการกระจายดังต่อไปนี้:

วิธีแก้ปัญหา: มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

มาเขียนกฎการกระจายตัวของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองกัน:

วิธีแก้ปัญหา: ลองหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

มาเขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม X 2 กัน

เอ็กซ์ 2
ป	0.1	0.6	0.3

ลองหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน ม(x 2):ม(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

ความแปรปรวนที่ต้องการคือ D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

คุณสมบัติการกระจายตัว:

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่ กับ เท่ากับศูนย์: ด(ค)=0
2. ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง ง(Cx)=ค 2 ง(x)
3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. ความแปรปรวนของการแจกแจงทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดเหตุการณ์ในการทดลองหนึ่งครั้ง D(X)=npq

ในการประมาณค่าการกระจายตัวของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มรอบค่าเฉลี่ย นอกเหนือจากการกระจายตัวแล้ว ยังใช้คุณลักษณะอื่นๆ บางอย่างอีกด้วย ซึ่งรวมถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วย

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เรียกว่ารากที่สองของความแปรปรวน:

σ(X) = √D(X) (4)

ตัวอย่าง. ตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
ป	0.1	0.4	0.5

ค้นหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(x)

วิธีแก้ปัญหา: ลองหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
ลองหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X 2 กัน: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
ลองหาความแปรปรวน: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ต้องการ σ(X)=√D(X)=√13.04µ3.61

ทฤษฎีบท. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมของจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรเหล่านี้:

ตัวอย่าง. บนชั้นมีหนังสือ 6 เล่ม หนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ 3 เล่ม และฟิสิกส์ 3 เล่ม หนังสือสามเล่มจะถูกสุ่มเลือก ค้นหากฎการกระจายจำนวนหนังสือคณิตศาสตร์ในหนังสือที่เลือก ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้

ง(X)= ม(X 2) - ม(X) 2 = 2.7 – 1.5 2 = 0.45

สารละลาย:

6.1.2 คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง

2. ค่าคงที่สามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้

4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้

ตัวอย่าง: เอ็ม(เอ็กซ์) = 5, ของฉัน)= 2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซีโดยนำคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มาใช้หากทราบเช่นนั้น Z=2X+3Y.

สารละลาย: ม(Z) = ม(2X + 3Y) = ม(2X) + ม(3Y) = 2ม(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

2) สามารถดึงปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้

ปล่อยให้ทำการทดลองอิสระ n ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ซึ่งเท่ากับ p จากนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้ถือเป็น:

ทฤษฎีบท. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ของจำนวนการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

6.1.3 การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถระบุลักษณะของกระบวนการสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ นอกเหนือจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แล้วยังจำเป็นต้องป้อนค่าที่แสดงถึงความเบี่ยงเบนของค่าของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ค่าเบี่ยงเบนนี้เท่ากับความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้บางอย่างนั้นเป็นค่าบวก ส่วนค่าอื่นๆ นั้นเป็นค่าลบ และผลจากการยกเลิกร่วมกัน ทำให้ได้ศูนย์

การกระจายตัว (กระเจิง)ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทางปฏิบัติ วิธีคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวกเพราะว่า นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าตัวแปรสุ่มจำนวนมาก

ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน.

การพิสูจน์. เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M2(X) เป็นปริมาณคงที่ เราสามารถเขียนได้:

ตัวอย่าง. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
เอ็กซ์ 2
ร	0.2	0.3	0.1	0.4

สารละลาย: .

6.1.4 คุณสมบัติการกระจายตัว

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์ -

2. ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง .

3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ -

4. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ -

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นที่ p ของการเกิดเหตุการณ์จะเป็นค่าคงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองด้วยความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์และไม่ การเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

ตัวอย่าง: ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 2 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M(X) = 1.2

ให้เราใช้ทฤษฎีบทจากส่วนที่ 6.1.2:

ม(X) = np

เอ็ม(เอ็กซ์) = 1,2; n= 2. มาหากัน พี:

1,2 = 2∙พี

พี = 1,2/2

ถาม = 1 – พี = 1 – 0,6 = 0,4

มาหาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

ง(เอ็กซ์) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม X เรียกว่ารากที่สองของความแปรปรวน

(25)

ทฤษฎีบท. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมของจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรเหล่านี้

6.1.6 โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

แฟชั่น M หรือ DSVค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของตัวแปรสุ่มเรียกว่า (เช่น ค่าที่มีความน่าจะเป็นสูงสุด)

ค่ามัธยฐาน M และ DSVคือค่าของตัวแปรสุ่มที่แบ่งอนุกรมการแจกแจงออกเป็นครึ่งหนึ่ง หากจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะพบว่าเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยสองค่า

ตัวอย่าง: ค้นหาโหมดและค่ามัธยฐานของ DSV เอ็กซ์:

เอ็กซ์
พี	0.2	0.3	0.1	0.4

ฉัน = = 5,5

ความคืบหน้า

1. ทำความคุ้นเคยกับส่วนเชิงทฤษฎีของงานนี้ (การบรรยาย หนังสือเรียน)

2. ทำงานให้เสร็จสิ้นตามเวอร์ชันของคุณเอง

3.จัดทำรายงานการทำงาน.

4. ปกป้องงานของคุณ

2. วัตถุประสงค์ของงาน

3. ความก้าวหน้าของงาน

4. การแก้ไขทางเลือกของคุณเอง

6.4 ตัวเลือกสำหรับงานสำหรับงานอิสระ

ตัวเลือกที่ 1

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โหมด และค่ามัธยฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
ป	0.1	0.6	0.2	0.1

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระสองครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (X) = 1

4. ให้รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์: x1 = 1, x2 = 2, x3= 5 และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่านี้และกำลังสองของมันยังเป็นที่รู้จัก: , ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของ , , และร่างกฎหมายการกระจาย DSV

ตัวเลือกหมายเลข 2

เอ็กซ์
ป	0.3	0.1	0.2	0.4

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 3 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (X) = 0.9

4. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X จะได้รับ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4= 10 และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่านี้และกำลังสองของมันยังเป็นที่รู้จัก: , ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของ , , และร่างกฎหมายการกระจาย DSV

ตัวเลือกหมายเลข 3

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
ป	0.5	0.1	0.2	0.3

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 4 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (x) = 1.2

ความคาดหวังคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ตัวอย่าง ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไข การคำนวณ คุณสมบัติ ปัญหา การประมาณค่าความคาดหวัง การกระจายตัว ฟังก์ชันการกระจาย สูตร ตัวอย่างการคำนวณ

ขยายเนื้อหา

ยุบเนื้อหา

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือคำจำกัดความ

หนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งระบุลักษณะการกระจายตัวของค่าหรือความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางเทคนิค การศึกษาอนุกรมจำนวน และการศึกษากระบวนการต่อเนื่องและใช้เวลานาน เป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง ทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อซื้อขายในตลาดการเงิน และใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการของกลยุทธ์การเล่นเกมในทฤษฎีการพนัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มถือเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xแสดงโดย เอ็ม(เอ็กซ์).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจครั้งใดครั้งหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินชนะที่ผู้เล่นสามารถได้รับหรือสูญเสียโดยเฉลี่ยสำหรับการเดิมพันแต่ละครั้ง ในสำนวนการพนัน บางครั้งเรียกว่า “ความได้เปรียบของผู้เล่น” (หากเป็นผลบวกต่อผู้เล่น) หรือ “ความได้เปรียบของเจ้ามือ” (หากเป็นผลลบต่อผู้เล่น)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือเปอร์เซ็นต์ของกำไรต่อการชนะคูณด้วยกำไรเฉลี่ย ลบความน่าจะเป็นของการสูญเสียคูณด้วยการสูญเสียโดยเฉลี่ย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

ลักษณะตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่งของตัวแปรสุ่มคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เราแนะนำแนวคิดของระบบตัวแปรสุ่ม ลองพิจารณาชุดตัวแปรสุ่มที่เป็นผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มเดียวกัน ถ้า เป็นหนึ่งในค่าที่เป็นไปได้ของระบบ เหตุการณ์จะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นบางประการที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Kolmogorov ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้สำหรับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเรียกว่ากฎการแจกแจงร่วม ฟังก์ชั่นนี้ช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ จาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎการกระจายร่วมของตัวแปรสุ่มและซึ่งรับค่าจากเซตและได้รับจากความน่าจะเป็น

คำว่า “ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์” ได้รับการแนะนำโดย Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) และมาจากแนวคิดเรื่อง “มูลค่าที่คาดหวังของการชนะ” ซึ่งปรากฏครั้งแรกในศตวรรษที่ 17 ในทฤษฎีการพนันในงานของ Blaise Pascal และ Christiaan ฮอยเกนส์. อย่างไรก็ตาม Pafnuty Lvovich Chebyshev (กลางศตวรรษที่ 19) เป็นผู้ให้ความเข้าใจทางทฤษฎีและการประเมินแนวคิดนี้อย่างสมบูรณ์เป็นครั้งแรก

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม (ฟังก์ชันการกระจายและอนุกรมการกระจายหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ แต่ในปัญหาหลายประการ ก็เพียงพอที่จะทราบคุณลักษณะเชิงตัวเลขของปริมาณที่กำลังศึกษา (เช่น ค่าเฉลี่ยและความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้) เพื่อตอบคำถามที่ถูกตั้งไว้ ลักษณะตัวเลขหลักของตัวแปรสุ่มคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐาน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน บางครั้งความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เรียกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเนื่องจากมีค่าประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าของมันจะไม่น้อยกว่าค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม และไม่เกินค่าที่ใหญ่ที่สุด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นเป็นตัวแปรที่ไม่สุ่ม (ค่าคงที่)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีความหมายทางกายภาพง่ายๆ: หากคุณวางมวลต่อหน่วยบนเส้นตรง วางมวลจำนวนหนึ่งที่จุดใดจุดหนึ่ง (สำหรับการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง) หรือ "ทา" มวลนั้นด้วยความหนาแน่นที่แน่นอน (สำหรับการกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอน) แล้วจุดที่ตรงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเป็นพิกัด "จุดศูนย์ถ่วง" ที่เป็นเส้นตรง

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มคือตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งเสมือนเป็น "ค่าตัวแทน" และแทนที่ด้วยการคำนวณโดยประมาณโดยประมาณ เมื่อเราพูดว่า: “เวลาใช้งานหลอดไฟโดยเฉลี่ยคือ 100 ชั่วโมง” หรือ “จุดกระแทกโดยเฉลี่ยจะเลื่อนสัมพันธ์กับเป้าหมายไปทางขวา 2 ม.” เรากำลังระบุลักษณะตัวเลขที่แน่นอนของตัวแปรสุ่มที่อธิบายตำแหน่งของหลอดไฟ บนแกนตัวเลขเช่น "ลักษณะตำแหน่ง"

จากคุณลักษณะของตำแหน่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น บทบาทที่สำคัญที่สุดคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

พิจารณาตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีค่าที่เป็นไปได้ x1, x2, …, xnด้วยความน่าจะเป็น p1, p2, …, พีเอ็น- เราจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่มบนแกน x ด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน เพื่อจุดประสงค์นี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สิ่งที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" ของค่าต่างๆ ซีและแต่ละค่า xi ในระหว่างการหาค่าเฉลี่ยควรนำมาพิจารณาด้วย "น้ำหนัก" ตามสัดส่วนกับความน่าจะเป็นของค่านี้ ดังนั้นเราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ซึ่งเราแสดงถึง เอ็ม |เอ็กซ์|:

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นเราจึงนำแนวคิดที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นมาพิจารณา - แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

เอ็กซ์เชื่อมต่อกันด้วยการพึ่งพาที่แปลกประหลาดกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก การพึ่งพานี้เป็นประเภทเดียวกับการพึ่งพาระหว่างความถี่และความน่าจะเป็นกล่าวคือ: ด้วยการทดลองจำนวนมากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ จากการมีความเชื่อมโยงระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น เราสามารถสรุปได้ว่ามีความเชื่อมโยงที่คล้ายกันระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ อันที่จริงให้พิจารณาตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์โดดเด่นด้วยชุดการจัดจำหน่าย:

ให้มันผลิตออกมา เอ็นการทดลองอิสระซึ่งในแต่ละอันมีค่า เอ็กซ์รับค่าที่แน่นอน สมมุติว่าค่านั้น x1ปรากฏขึ้น ม1ครั้ง คุณค่า x2ปรากฏขึ้น ตร.มครั้งหนึ่ง ในความหมายทั่วไป ซีปรากฏไมล์ครั้ง ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของค่า X ซึ่งตรงกันข้ามกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม|เอ็กซ์|เราแสดงถึง ม*|X|:

ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น เอ็นความถี่ ปี่จะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม เอ็ม|เอ็กซ์|ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น มันจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) สู่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยงระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่จัดทำขึ้นข้างต้นถือเป็นเนื้อหารูปแบบหนึ่งของกฎจำนวนมาก

เรารู้อยู่แล้วว่ากฎจำนวนมากทุกรูปแบบระบุถึงความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยบางค่ามีเสถียรภาพในการทดลองจำนวนมาก ที่นี่เรากำลังพูดถึงความเสถียรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสังเกตหลายๆ ชุดที่มีปริมาณเท่ากัน ด้วยการทดลองจำนวนน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์จะเป็นแบบสุ่ม ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างเพียงพอ มันจะกลายเป็น "เกือบจะไม่สุ่ม" และเมื่อเสถียรแล้วจะเข้าใกล้ค่าคงที่ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความเสถียรของค่าเฉลี่ยจากการทดลองจำนวนมากสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ด้วยการทดลอง ตัวอย่างเช่น เมื่อชั่งน้ำหนักร่างกายในห้องปฏิบัติการด้วยเครื่องชั่งที่แม่นยำ จากการชั่งน้ำหนัก เราก็จะได้ค่าใหม่ทุกครั้ง เพื่อลดข้อผิดพลาดในการสังเกต เราชั่งน้ำหนักร่างกายหลายครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น (การชั่งน้ำหนัก) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะตอบสนองต่อการเพิ่มขึ้นนี้น้อยลงเรื่อยๆ และเมื่อมีการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ในทางปฏิบัติก็หยุดการเปลี่ยนแปลง

ควรสังเกตว่าลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ไม่มีอยู่ในตัวแปรสุ่มทั้งหมด เป็นไปได้ที่จะเขียนตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่ไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากผลรวมหรือปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม กรณีดังกล่าวไม่เป็นประโยชน์อย่างมากต่อการปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มที่เราจัดการจะมีช่วงค่าที่เป็นไปได้ที่จำกัด และแน่นอนว่ามีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วย

นอกเหนือจากคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ในทางปฏิบัติแล้ว บางครั้งมีการใช้คุณลักษณะอื่นๆ ของตำแหน่ง โดยเฉพาะโหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม

โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด คำว่า "มูลค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด" หากพูดอย่างเคร่งครัดใช้เฉพาะกับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น สำหรับปริมาณต่อเนื่อง โหมดคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด ตัวเลขแสดงโหมดสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามลำดับ

หากรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (เส้นโค้งการกระจาย) มีค่าสูงสุดมากกว่าหนึ่งค่า การแจกแจงจะเรียกว่า "หลายรูปแบบ"

บางครั้งมีการแจกแจงที่มีค่าต่ำสุดอยู่ตรงกลางมากกว่าค่าสูงสุด การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า "การต่อต้านกิริยา"

ในกรณีทั่วไป โหมดและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มไม่ตรงกัน ในกรณีเฉพาะ เมื่อการแจกแจงเป็นแบบสมมาตรและเป็นกิริยาช่วย (เช่น มีโหมด) และมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การแจกแจงจะสอดคล้องกับโหมดและศูนย์กลางของสมมาตรของการแจกแจง

มักใช้คุณลักษณะตำแหน่งอื่น - สิ่งที่เรียกว่าค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปคุณลักษณะนี้จะใช้เฉพาะกับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเท่านั้น แม้ว่าจะสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการสำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องก็ตาม ในเชิงเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือจุดสิ้นสุดของจุดที่พื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งการกระจายถูกแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง

ในกรณีของการแจกแจงแบบโมดอลแบบสมมาตร ค่ามัธยฐานจะสอดคล้องกับความคาดหวังและโหมดทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ซึ่งเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปแล้ว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(ญ)ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัลของ Lebesgue ที่เกี่ยวข้องกับการวัดความน่าจะเป็น รในพื้นที่ความน่าจะเป็นเดิม:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถคำนวณได้จากอินทิกรัล Lebesgue ของ เอ็กซ์โดยการกระจายความน่าจะเป็น พิกเซลปริมาณ เอ็กซ์:

แนวคิดของตัวแปรสุ่มที่มีการคาดหวังทางคณิตศาสตร์อนันต์สามารถกำหนดได้ด้วยวิธีธรรมชาติ ตัวอย่างทั่วไปคือเวลากลับของการเดินสุ่มบางช่วง

การใช้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะเชิงตัวเลขและฟังก์ชันของการแจกแจงจำนวนมากจะถูกกำหนด (เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันของตัวแปรสุ่ม) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการสร้าง ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ โมเมนต์ของลำดับใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจายตัว ความแปรปรวนร่วม .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นลักษณะของตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่ม (ค่าเฉลี่ยของการแจกแจง) ในตำแหน่งนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์การกระจาย "ทั่วไป" และบทบาทของมันจะคล้ายกับบทบาทของโมเมนต์คงที่ ซึ่งเป็นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของการกระจายมวล ในกลศาสตร์ จากลักษณะอื่น ๆ ของตำแหน่งด้วยความช่วยเหลือซึ่งอธิบายการแจกแจงในแง่ทั่วไป - ค่ามัธยฐาน, โหมด, ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแตกต่างกันในค่าที่มากกว่าและลักษณะการกระเจิงที่สอดคล้องกัน - การกระจายตัว - มีอยู่ในทฤษฎีบทขีดจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ความหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้รับการเปิดเผยอย่างเต็มที่ตามกฎของจำนวนจำนวนมาก (อสมการของเชบีเชฟ) และกฎที่เสริมความแข็งแกร่งของจำนวนมาก

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ให้มีตัวแปรสุ่มบางตัวที่สามารถรับค่าตัวเลขได้หลายค่า (เช่น จำนวนแต้มเมื่อทอยลูกเต๋าอาจเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6) บ่อยครั้งในทางปฏิบัติสำหรับค่าดังกล่าวคำถามเกิดขึ้น: ต้องใช้ค่า "โดยเฉลี่ย" เท่าใดกับการทดสอบจำนวนมาก? รายได้เฉลี่ย (หรือขาดทุน) ของเราจากธุรกรรมที่มีความเสี่ยงแต่ละรายการจะเป็นเท่าใด

สมมติว่ามีลอตเตอรีบางชนิด เราต้องการเข้าใจว่าการเข้าร่วมจะทำกำไรหรือไม่ (หรือแม้กระทั่งเข้าร่วมซ้ำ ๆ เป็นประจำ) สมมติว่าผู้ชนะรางวัลทุกตั๋วใบที่สี่ รางวัลจะเป็น 300 รูเบิล และราคาของตั๋วใดๆ จะเป็น 100 รูเบิล ด้วยจำนวนผู้เข้าร่วมที่มากมายไม่สิ้นสุด นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น เราจะแพ้ในสามในสี่ของกรณี ทุก ๆ การสูญเสียสามครั้งจะมีราคา 300 รูเบิล ในทุก ๆ สี่ เราจะได้รับรางวัล 200 รูเบิล (รางวัลลบด้วยต้นทุน) นั่นคือสำหรับการมีส่วนร่วมสี่ครั้งเราเสียโดยเฉลี่ย 100 รูเบิลต่อหนึ่งครั้ง - โดยเฉลี่ย 25 รูเบิล โดยรวมแล้วอัตราความเสียหายเฉลี่ยของเราจะอยู่ที่ 25 รูเบิลต่อตั๋ว

เราโยนลูกเต๋า ถ้าไม่โกง(ไม่เปลี่ยนจุดศูนย์ถ่วง ฯลฯ) แล้วเราจะได้คะแนนเฉลี่ยครั้งละกี่คะแนน? เนื่องจากแต่ละตัวเลือกมีโอกาสเท่ากัน เราจึงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้วได้ 3.5 เนื่องจากนี่คือค่าเฉลี่ย จึงไม่จำเป็นต้องโกรธเคืองที่ไม่มีการหมุนรอบใดเป็นพิเศษจะให้ 3.5 แต้ม - ลูกบาศก์นี้ไม่มีหน้าที่มีตัวเลขเช่นนี้!

ตอนนี้เรามาสรุปตัวอย่างของเรา:

มาดูภาพที่เพิ่งให้มากัน ด้านซ้ายเป็นตารางการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ค่า X สามารถรับหนึ่งใน n ค่าที่เป็นไปได้ (แสดงในบรรทัดบนสุด) ไม่สามารถมีความหมายอื่นใดได้ ภายใต้ค่าที่เป็นไปได้แต่ละค่า ความน่าจะเป็นของมันจะถูกเขียนไว้ด้านล่าง ทางด้านขวาคือสูตร โดยที่ M(X) เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความหมายของค่านี้คือเมื่อมีการทดสอบจำนวนมาก (มีตัวอย่างจำนวนมาก) ค่าเฉลี่ยจะมีแนวโน้มที่จะเป็นไปตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เดียวกันนี้

กลับมาอีกครั้งกับการเล่นคิวบ์แบบเดิม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนคะแนนเมื่อขว้างคือ 3.5 (คำนวณด้วยตัวเองโดยใช้สูตรหากคุณไม่เชื่อฉัน) สมมติว่าคุณโยนมันไปสองสามครั้ง ผลลัพธ์คือ 4 และ 6 ค่าเฉลี่ยคือ 5 ซึ่งยังห่างไกลจาก 3.5 พวกเขาโยนมันอีกครั้ง พวกเขาได้ 3 นั่นคือโดยเฉลี่ย (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... ค่อนข้างไกลจากความคาดหมายทางคณิตศาสตร์มาก ตอนนี้ทำการทดลองสุดมันส์ - หมุนลูกบาศก์ 1,000 ครั้ง! และถึงแม้ค่าเฉลี่ยจะไม่เท่ากับ 3.5 พอดีแต่ก็จะใกล้เคียงกัน

มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับลอตเตอรีที่อธิบายไว้ข้างต้น จานจะมีลักษณะดังนี้:

จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเป็นไปตามที่เรากำหนดไว้ข้างต้น:

อีกประการหนึ่งคือการทำ "ด้วยนิ้ว" โดยไม่มีสูตรคงเป็นเรื่องยากหากมีตัวเลือกมากกว่านี้ สมมติว่าจะมีตั๋วที่แพ้ 75% ตั๋วที่ชนะ 20% และ 5% โดยเฉพาะตั๋วที่ชนะ

ตอนนี้คุณสมบัติบางอย่างของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ง่ายที่จะพิสูจน์:

ปัจจัยคงที่สามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ นั่นคือ:

นี่เป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของความเป็นเส้นตรงของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

ให้ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ, แล้ว:

นี่พิสูจน์ได้ง่ายเช่นกัน) การทำงาน เอ็กซ์วายตัวเองเป็นตัวแปรสุ่มและหากค่าเริ่มต้นสามารถรับได้ nและ มคุณค่าตามนั้นแล้ว เอ็กซ์วายสามารถรับค่า nm ได้ ความน่าจะเป็นของแต่ละค่าจะคำนวณตามข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะถูกคูณกัน เป็นผลให้เราได้รับสิ่งนี้:

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีลักษณะเฉพาะเช่นความหนาแน่นของการแจกแจง (ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นการแสดงลักษณะสถานการณ์ที่ตัวแปรสุ่มรับค่าบางค่าจากเซตของจำนวนจริงบ่อยกว่าและบางค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณากราฟนี้:

ที่นี่ เอ็กซ์- ตัวแปรสุ่มจริง ฉ(x)- ความหนาแน่นของการกระจาย ตัดสินโดยกราฟนี้ระหว่างการทดลองค่า เอ็กซ์มักจะเป็นตัวเลขที่ใกล้ศูนย์ โอกาสมีเกิน 3 หรือจะเล็กลง -3 ค่อนข้างเป็นเชิงทฤษฎีล้วนๆ

สมมติว่ามีการกระจายแบบสม่ำเสมอ:

สิ่งนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับความเข้าใจตามสัญชาตญาณ สมมติว่าหากเราได้รับจำนวนจริงสุ่มจำนวนมากที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอในแต่ละส่วน |0; 1| ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรอยู่ที่ประมาณ 0.5

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ความเป็นเส้นตรง ฯลฯ ที่ใช้ได้กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ก็สามารถใช้ได้ที่นี่เช่นกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กับตัวชี้วัดทางสถิติอื่นๆ

ในการวิเคราะห์ทางสถิติควบคู่ไปกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ มีระบบของตัวบ่งชี้ที่พึ่งพาซึ่งกันและกันซึ่งสะท้อนถึงความเป็นเนื้อเดียวกันของปรากฏการณ์และความเสถียรของกระบวนการ บ่อยครั้งที่ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงไม่มีความหมายที่เป็นอิสระและใช้สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเพิ่มเติม ข้อยกเว้นคือค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน ซึ่งระบุลักษณะความเป็นเนื้อเดียวกันของข้อมูล ซึ่งเป็นคุณลักษณะทางสถิติที่มีค่า

ระดับของความแปรปรวนหรือความเสถียรของกระบวนการทางวิทยาศาสตร์เชิงสถิติสามารถวัดได้โดยใช้ตัวบ่งชี้หลายตัว

ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดที่แสดงถึงความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือ การกระจายตัวซึ่งมีความเกี่ยวข้องและสัมพันธ์โดยตรงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มากที่สุด พารามิเตอร์นี้ถูกใช้อย่างแข็งขันในการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่นๆ (การทดสอบสมมติฐาน การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล ฯลฯ) เช่นเดียวกับค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นโดยเฉลี่ย ความแปรปรวนยังสะท้อนถึงขอบเขตของการแพร่กระจายของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ยอีกด้วย

การแปลภาษาของสัญลักษณ์เป็นภาษาของคำจะมีประโยชน์ ปรากฎว่าการกระจายตัวคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบน นั่นคือคำนวณค่าเฉลี่ยก่อนจากนั้นจึงนำความแตกต่างระหว่างมูลค่าดั้งเดิมและค่าเฉลี่ยแต่ละค่ามายกกำลังสองบวกแล้วหารด้วยจำนวนค่าในประชากร ความแตกต่างระหว่างค่าแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงการวัดค่าเบี่ยงเบน มันถูกยกกำลังสองเพื่อให้การเบี่ยงเบนทั้งหมดกลายเป็นตัวเลขบวกโดยเฉพาะ และเพื่อหลีกเลี่ยงการทำลายการเบี่ยงเบนเชิงบวกและเชิงลบร่วมกันเมื่อรวมเข้าด้วยกัน จากนั้น เมื่อพิจารณาค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง เราก็เพียงคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ย - สี่เหลี่ยม - ส่วนเบี่ยงเบน ส่วนเบี่ยงเบนจะถูกยกกำลังสองและคำนวณค่าเฉลี่ย คำตอบของคำว่า "การกระจายตัว" อันมหัศจรรย์นั้นมีเพียงสามคำเท่านั้น

อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบบริสุทธิ์ เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือดัชนี จะไม่มีการใช้การกระจายตัว ค่อนข้างเป็นตัวบ่งชี้เสริมและระดับกลางที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่นๆ มันไม่มีหน่วยวัดปกติด้วยซ้ำ เมื่อพิจารณาจากสูตร นี่คือกำลังสองของหน่วยการวัดข้อมูลต้นฉบับ

ให้เราวัดตัวแปรสุ่ม เอ็นเช่นเราวัดความเร็วลมสิบครั้งแล้วต้องการหาค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการแจกแจงอย่างไร

หรือเราจะทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก จำนวนแต้มที่จะปรากฏบนลูกเต๋าในการโยนแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่มและสามารถรับค่าธรรมชาติใดๆ ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของแต้มที่หล่นซึ่งคำนวณสำหรับการโยนลูกเต๋าทั้งหมดก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน แต่สำหรับขนาดใหญ่ เอ็นมันมีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนที่เฉพาะเจาะจงมาก - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม- ในกรณีนี้ Mx = 3.5

คุณได้รับคุณค่านี้มาได้อย่างไร? ให้เข้า เอ็นการทดสอบ n1ทอยได้ 1 แต้ม 1 ครั้ง n2หนึ่งครั้ง - 2 คะแนนเป็นต้น จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่จุดหนึ่งลดลง:

ในทำนองเดียวกันสำหรับผลลัพธ์เมื่อมีการทอยคะแนน 2, 3, 4, 5 และ 6

ตอนนี้ให้เราสมมติว่าเรารู้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม x นั่นคือเรารู้ว่าตัวแปรสุ่ม x สามารถรับค่า x1, x2, ..., xk ด้วยความน่าจะเป็น p1, p2, ..., พีเค

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ Mx ของตัวแปรสุ่ม x เท่ากับ:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่การประมาณการที่สมเหตุสมผลของตัวแปรสุ่มบางตัวเสมอไป ดังนั้นในการประมาณเงินเดือนโดยเฉลี่ยจึงสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้แนวคิดเรื่องค่ามัธยฐานนั่นคือค่าที่จำนวนผู้ที่ได้รับเงินเดือนต่ำกว่าค่ามัธยฐานและค่าที่สูงกว่าตรงกัน

ความน่าจะเป็น p1 ที่ตัวแปรสุ่ม x จะน้อยกว่า x1/2 และความน่าจะเป็น p2 ที่ตัวแปรสุ่ม x จะมากกว่า x1/2 จะเท่ากันและเท่ากับ 1/2 ค่ามัธยฐานไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะสำหรับการแจกแจงทั้งหมด

มาตรฐานหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในสถิติจะเรียกว่าระดับความเบี่ยงเบนของข้อมูลเชิงสังเกตหรือชุดจากค่า AVERAGE เขียนแทนด้วยตัวอักษร s หรือ s ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเล็กน้อยบ่งชี้ว่ากลุ่มข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ย ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสูงบ่งชี้ว่าข้อมูลเริ่มต้นอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของปริมาณที่เรียกว่าความแปรปรวน เป็นค่าเฉลี่ยของผลรวมของผลต่างกำลังสองของข้อมูลเริ่มต้นที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มคือรากที่สองของความแปรปรวน:

ตัวอย่าง. ภายใต้เงื่อนไขการทดสอบเมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ให้คำนวณการกระจายตัวและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม:

การเปลี่ยนแปลง- ความผันผวน การเปลี่ยนแปลงของมูลค่าคุณลักษณะระหว่างหน่วยประชากร ค่าตัวเลขส่วนบุคคลของลักษณะที่พบในประชากรที่ศึกษาเรียกว่าค่าแปรผัน ความไม่เพียงพอของค่าเฉลี่ยในการระบุลักษณะประชากรอย่างสมบูรณ์บังคับให้เราเสริมค่าเฉลี่ยด้วยตัวบ่งชี้ที่ช่วยให้เราสามารถประเมินความเป็นปกติของค่าเฉลี่ยเหล่านี้โดยการวัดความแปรปรวน (ความแปรปรวน) ของลักษณะที่กำลังศึกษา ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันคำนวณโดยใช้สูตร:

ช่วงของการเปลี่ยนแปลง(R) แสดงถึงความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดของคุณลักษณะในประชากรที่กำลังศึกษา ตัวบ่งชี้นี้ให้แนวคิดทั่วไปที่สุดเกี่ยวกับความแปรปรวนของคุณลักษณะที่กำลังศึกษา เนื่องจากจะแสดงความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดของตัวเลือกเท่านั้น การขึ้นอยู่กับค่าสุดขีดของคุณลักษณะทำให้ขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงมีอักขระสุ่มที่ไม่เสถียรและสุ่ม

ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (โมดูโล) ของค่าทั้งหมดของประชากรที่วิเคราะห์จากค่าเฉลี่ย:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีการพนัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินโดยเฉลี่ยที่นักพนันสามารถชนะหรือแพ้ได้ในการเดิมพันที่กำหนด นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญมากสำหรับผู้เล่นเนื่องจากเป็นพื้นฐานในการประเมินสถานการณ์การเล่นเกมส่วนใหญ่ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการวิเคราะห์เค้าโครงการ์ดพื้นฐานและสถานการณ์การเล่นเกม

สมมติว่าคุณกำลังเล่นเกมเหรียญกับเพื่อน โดยเดิมพัน 1 ดอลลาร์เท่ากันในแต่ละครั้ง ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นก็ตาม ก้อย แปลว่า ชนะ หัว แปลว่า แพ้ อัตราต่อรองจะเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นคุณเดิมพัน $1 ถึง $1 ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคุณจึงเป็นศูนย์ เพราะ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถรู้ได้ว่าคุณจะขึ้นนำหรือแพ้หลังจากโยนสองครั้งหรือหลังจาก 200 ครั้ง

กำไรรายชั่วโมงของคุณเป็นศูนย์ เงินรางวัลรายชั่วโมงคือจำนวนเงินที่คุณคาดว่าจะชนะในหนึ่งชั่วโมง คุณสามารถโยนเหรียญได้ 500 ครั้งในหนึ่งชั่วโมง แต่คุณจะไม่ชนะหรือแพ้เพราะ... โอกาสของคุณไม่ใช่ทั้งบวกและลบ หากมองจากมุมมองของผู้เล่นที่จริงจังระบบการเดิมพันนี้ไม่เลว แต่นี่เป็นเพียงการเสียเวลา

แต่สมมติว่ามีคนต้องการเดิมพัน $2 ต่อ $1 ของคุณในเกมเดียวกัน จากนั้นคุณจะมีความคาดหวังเป็นบวก 50 เซ็นต์จากการเดิมพันแต่ละครั้งทันที ทำไมต้อง 50 เซ็นต์? โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะชนะเดิมพันหนึ่งครั้งและแพ้ครั้งที่สอง เดิมพันดอลลาร์แรกและเสียเงิน 1 ดอลลาร์ เดิมพันครั้งที่สองและชนะ 2 ดอลลาร์ คุณเดิมพัน $1 สองครั้งและนำหน้า $1 ดังนั้นการเดิมพันหนึ่งดอลลาร์แต่ละครั้งของคุณจะทำให้คุณได้รับ 50 เซ็นต์

หากเหรียญปรากฏ 500 ครั้งในหนึ่งชั่วโมง เงินรางวัลรายชั่วโมงของคุณจะอยู่ที่ 250 ดอลลาร์แล้ว เพราะ... โดยเฉลี่ยแล้ว คุณเสียเงินหนึ่งดอลลาร์ 250 ครั้ง และถูกรางวัลสองดอลลาร์ 250 ครั้ง $500 ลบ $250 เท่ากับ $250 ซึ่งเป็นเงินรางวัลทั้งหมด โปรดทราบว่ามูลค่าที่คาดหวังซึ่งเป็นจำนวนเงินโดยเฉลี่ยที่คุณชนะต่อการเดิมพันคือ 50 เซ็นต์ คุณได้รับรางวัล $250 จากการเดิมพันหนึ่งดอลลาร์ 500 ครั้ง ซึ่งเท่ากับ 50 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ระยะสั้น คู่ต่อสู้ของคุณที่ตัดสินใจเดิมพัน 2 ดอลลาร์ต่อคุณ สามารถเอาชนะคุณได้ใน 10 ม้วนแรกติดต่อกัน แต่คุณมีความได้เปรียบในการเดิมพัน 2 ต่อ 1 สิ่งอื่นๆ ที่เท่าเทียมกัน จะได้รับ 50 เซ็นต์จากทุกๆ การเดิมพัน 1 ดอลลาร์ในทุกรายการ สถานการณ์. ไม่สำคัญว่าคุณจะชนะหรือแพ้เดิมพันหนึ่งรายการหรือหลายรายการ ตราบใดที่คุณมีเงินสดเพียงพอที่จะครอบคลุมค่าใช้จ่ายได้อย่างสบายๆ หากคุณยังคงเดิมพันในลักษณะเดิม เป็นเวลานาน เงินรางวัลของคุณจะเข้าใกล้ผลรวมของความคาดหวังในการโยนแต่ละครั้ง

ทุกครั้งที่คุณวางเดิมพันที่ดีที่สุด (เดิมพันที่อาจกลายเป็นผลกำไรในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองเข้าข้างคุณ คุณจะต้องชนะบางสิ่งจากสิ่งนั้น ไม่ว่าคุณจะแพ้หรือไม่ก็ตาม ให้มือ ในทางกลับกัน หากคุณเดิมพันฝ่ายรอง (การเดิมพันที่ไม่ได้ผลกำไรในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองขัดแย้งกับคุณ คุณจะสูญเสียบางสิ่งไม่ว่าคุณจะชนะหรือแพ้ในมือก็ตาม

คุณวางเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหากความคาดหวังของคุณเป็นบวก และจะเป็นเชิงบวกหากอัตราต่อรองอยู่ฝั่งคุณ เมื่อคุณวางเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่ที่สุด คุณจะมีความคาดหวังเชิงลบ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออัตราต่อรองขัดแย้งกับคุณ ผู้เล่นที่จริงจังจะเดิมพันเฉพาะผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเท่านั้น หากเกิดเหตุการณ์เลวร้ายที่สุด พวกเขาจะหมอบลง อัตราต่อรองหมายถึงอะไรในความโปรดปรานของคุณ? คุณอาจจบลงด้วยการชนะมากกว่าราคาต่อรองที่เกิดขึ้นจริง อัตราต่อรองที่แท้จริงของการลงจอดคือ 1 ต่อ 1 แต่คุณจะได้ 2 ต่อ 1 เนื่องจากอัตราส่วนอัตราต่อรอง ในกรณีนี้ อัตราต่อรองจะเข้าข้างคุณ คุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ดีที่สุดอย่างแน่นอนโดยคาดหวังบวก 50 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เพื่อนเขียนตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงห้าและเดิมพัน $5 กับ $1 ของคุณโดยที่คุณจะไม่เดาตัวเลขนั้น คุณควรยอมรับการเดิมพันดังกล่าวหรือไม่? คาดหวังอะไรที่นี่?

โดยเฉลี่ยแล้วคุณจะผิดสี่ครั้ง จากข้อมูลนี้ อัตราต่อรองที่คุณทายหมายเลขคือ 4 ต่อ 1 อัตราต่อรองที่คุณจะเสียเงินหนึ่งดอลลาร์ในครั้งเดียว อย่างไรก็ตาม คุณชนะ 5 ต่อ 1 โดยมีความเป็นไปได้ที่จะแพ้ 4 ต่อ 1 ดังนั้นอัตราต่อรองจึงเข้าข้างคุณ คุณสามารถเดิมพันและหวังว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด หากคุณทำการเดิมพันนี้ห้าครั้ง โดยเฉลี่ยคุณจะเสียเงิน $1 สี่ครั้งและชนะ $5 หนึ่งครั้ง จากข้อมูลนี้ สำหรับความพยายามทั้งห้าครั้ง คุณจะได้รับ $1 โดยมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นบวกที่ 20 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน

ผู้เล่นที่จะชนะมากกว่าที่เขาเดิมพัน ดังตัวอย่างข้างต้น กำลังเสี่ยง ในทางตรงกันข้าม เขาทำลายโอกาสของเขาเมื่อเขาคาดหวังว่าจะชนะน้อยกว่าที่เขาเดิมพัน นักพนันสามารถมีความคาดหวังเชิงบวกหรือเชิงลบก็ได้ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเขาชนะหรือทำลายอัตราต่อรอง

หากคุณเดิมพัน $50 เพื่อชนะ $10 โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 คุณจะได้รับความคาดหวังติดลบที่ $2 เพราะ โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะชนะรางวัล $10 สี่ครั้งและเสียเงิน $50 หนึ่งครั้ง ซึ่งแสดงว่าการเสียต่อการเดิมพันจะเป็น $10 แต่ถ้าคุณเดิมพัน $30 เพื่อชนะ $10 โดยมีอัตราต่อรองเท่ากันในการชนะ 4 ต่อ 1 ในกรณีนี้ คุณจะมีความคาดหวังเป็นบวกที่ $2 เพราะ คุณชนะ $10 อีกครั้งสี่ครั้งและเสีย $30 หนึ่งครั้งเพื่อกำไร $10 ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเดิมพันครั้งแรกนั้นไม่ดี และครั้งที่สองนั้นดี

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์กลางของทุกสถานการณ์การเล่นเกม เมื่อเจ้ามือรับแทงสนับสนุนให้แฟนฟุตบอลเดิมพัน 11 ดอลลาร์เพื่อรับรางวัล 10 ดอลลาร์ เขามีความคาดหวังเชิงบวกอยู่ที่ 50 เซ็นต์ในทุก ๆ 10 ดอลลาร์ หากคาสิโนจ่ายเงินเท่ากันจากพาสไลน์ ความคาดหวังเชิงบวกของคาสิโนจะอยู่ที่ประมาณ 1.40 ดอลลาร์ต่อทุกๆ 100 ดอลลาร์ เนื่องจาก เกมนี้ได้รับการออกแบบเพื่อให้ใครก็ตามที่เดิมพันในไลน์นี้จะสูญเสียโดยเฉลี่ย 50.7% และชนะ 49.3% ของเวลาทั้งหมด ไม่ต้องสงสัยเลยว่าความคาดหวังเชิงบวกเพียงเล็กน้อยที่ดูเหมือนจะนำผลกำไรมหาศาลมาสู่เจ้าของคาสิโนทั่วโลก ดังที่ Bob Stupak เจ้าของคาสิโน Vegas World กล่าวไว้ว่า “ความน่าจะเป็นเชิงลบหนึ่งในพันของหนึ่งเปอร์เซ็นต์ในระยะทางที่ไกลพอที่จะทำลายคนที่รวยที่สุดในโลก”

ความคาดหวังเมื่อเล่นโป๊กเกอร์

เกมโป๊กเกอร์เป็นตัวอย่างที่มีภาพประกอบและชัดเจนที่สุดจากมุมมองของการใช้ทฤษฎีและคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

มูลค่าที่คาดหวังในโป๊กเกอร์คือผลประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจครั้งใดครั้งหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีตัวเลขจำนวนมากและระยะทางไกล เกมโป๊กเกอร์ที่ประสบความสำเร็จคือการยอมรับการเคลื่อนไหวโดยมีมูลค่าที่คาดหวังเป็นบวกเสมอ

ความหมายทางคณิตศาสตร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อเล่นโป๊กเกอร์คือเรามักจะพบกับตัวแปรสุ่มเมื่อทำการตัดสินใจ (เราไม่รู้ว่าฝ่ายตรงข้ามมีไพ่ใบใดในมือ ไพ่ใบใดที่จะมาในการเดิมพันรอบต่อ ๆ ไป) เราต้องพิจารณาแต่ละคำตอบจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก ซึ่งระบุว่าเมื่อมีตัวอย่างจำนวนมากเพียงพอ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มจะมีแนวโน้มที่จะเป็นไปตามค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในบรรดาสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ สิ่งต่อไปนี้สามารถใช้ได้มากที่สุดในโป๊กเกอร์:

เมื่อเล่นโป๊กเกอร์ สามารถคำนวณมูลค่าที่คาดหวังได้ทั้งการเดิมพันและการโทร ในกรณีแรก ควรคำนึงถึงสัดส่วนการพับ ส่วนประการที่สองคืออัตราต่อรองของธนาคาร เมื่อประเมินความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนไหวใดการเคลื่อนไหวหนึ่ง คุณควรจำไว้ว่าการพับมักจะมีความคาดหวังเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นการทิ้งไพ่จะเป็นการตัดสินใจที่ให้ผลกำไรมากกว่าการเคลื่อนไหวเชิงลบใดๆ เสมอ

ความคาดหวังจะบอกคุณถึงสิ่งที่คุณคาดหวังได้ (กำไรหรือขาดทุน) สำหรับทุกๆ ดอลลาร์ที่คุณเสี่ยง คาสิโนสร้างรายได้เพราะความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมทั้งหมดที่เล่นอยู่ในนั้นเป็นผลดีต่อคาสิโน ด้วยซีรีส์เกมที่มีความยาวเพียงพอ คุณสามารถคาดหวังได้ว่าลูกค้าจะสูญเสียเงินของเขา เนื่องจาก "อัตราต่อรอง" เป็นผลดีต่อคาสิโน อย่างไรก็ตาม ผู้เล่นคาสิโนมืออาชีพจำกัดเกมของตนให้อยู่ในช่วงเวลาสั้น ๆ ดังนั้นจึงเป็นการซ้อนอัตราต่อรองไว้เพื่อประโยชน์ของพวกเขา เช่นเดียวกับการลงทุน หากความคาดหวังของคุณเป็นไปในทางบวก คุณสามารถทำเงินได้มากขึ้นด้วยการเทรดหลายครั้งในช่วงเวลาสั้นๆ ความคาดหวังคือเปอร์เซ็นต์ของกำไรต่อการชนะคูณด้วยกำไรเฉลี่ย ลบความน่าจะเป็นที่จะสูญเสียคูณด้วยการสูญเสียโดยเฉลี่ย

โป๊กเกอร์สามารถพิจารณาได้จากมุมมองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณอาจสันนิษฐานว่าการเคลื่อนไหวบางอย่างทำกำไรได้ แต่ในบางกรณี อาจไม่ดีที่สุดเพราะการเคลื่อนไหวอื่นทำกำไรได้มากกว่า สมมติว่าคุณตีเต็มบ้านในโป๊กเกอร์แบบจั่วไพ่ห้าใบ คู่ต่อสู้ของคุณทำการเดิมพัน คุณรู้ว่าถ้าคุณเพิ่มเดิมพัน เขาจะตอบสนอง ดังนั้นการเลี้ยงดูจึงเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้าคุณเพิ่มเดิมพัน ผู้เล่นสองคนที่เหลือจะหมอบอย่างแน่นอน แต่ถ้าคุณโทรมาคุณก็มั่นใจเต็มที่ว่านักเตะอีกสองคนที่อยู่ข้างหลังคุณจะทำเช่นเดียวกัน เมื่อคุณเพิ่มเดิมพันคุณจะได้รับหนึ่งหน่วย และเมื่อคุณโทรหาคุณจะได้รับสองหน่วย ดังนั้นการโทรจะทำให้คุณได้รับความคาดหวังเชิงบวกที่สูงกว่าและจะเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังสามารถให้แนวคิดว่ากลยุทธ์โป๊กเกอร์ใดทำกำไรได้น้อยกว่าและทำกำไรได้มากกว่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเล่นมือใดมือหนึ่งและคุณคิดว่าการสูญเสียจะเฉลี่ย 75 เซ็นต์รวมแอนเต้ด้วย คุณควรเล่นมือนั้นเพราะว่า นี่ดีกว่าการพับเมื่อ ante อยู่ที่ 1 ดอลลาร์

เหตุผลสำคัญอีกประการหนึ่งในการทำความเข้าใจแนวคิดของมูลค่าที่คาดหวังก็คือมันทำให้คุณรู้สึกสบายใจไม่ว่าคุณจะชนะการเดิมพันหรือไม่: หากคุณวางเดิมพันได้ดีหรือหมอบในเวลาที่เหมาะสม คุณจะรู้ว่าคุณได้รับหรือ ประหยัดเงินจำนวนหนึ่งซึ่งผู้เล่นที่อ่อนแอกว่าไม่สามารถออมได้ การหมอบจะยากกว่ามากหากคุณอารมณ์เสียเพราะคู่ต่อสู้ดึงมือที่แข็งแกร่งกว่า ด้วยเหตุนี้ เงินที่คุณประหยัดได้จากการไม่เล่นแทนการเดิมพันจะถูกเพิ่มเข้าไปในเงินรางวัลของคุณในคืนหรือเดือน

เพียงจำไว้ว่าหากคุณเปลี่ยนมือ คู่ต่อสู้จะโทรหาคุณ และดังที่คุณจะเห็นในบทความทฤษฎีบทพื้นฐานของโป๊กเกอร์ นี่เป็นเพียงหนึ่งในข้อดีของคุณ คุณควรจะมีความสุขเมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น คุณยังสามารถเรียนรู้ที่จะสนุกกับการสูญเสียมือได้เพราะคุณรู้ว่าผู้เล่นคนอื่นในตำแหน่งของคุณจะสูญเสียมากกว่านั้นมาก

ตามที่กล่าวไว้ในตัวอย่างเกมหยอดเหรียญในตอนต้น อัตรากำไรรายชั่วโมงสัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และแนวคิดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับผู้เล่นมืออาชีพ เมื่อคุณไปเล่นโป๊กเกอร์ คุณควรประเมินในใจว่าคุณสามารถชนะได้มากแค่ไหนในการเล่นหนึ่งชั่วโมง ในกรณีส่วนใหญ่คุณจะต้องพึ่งพาสัญชาตญาณและประสบการณ์ของคุณ แต่คุณสามารถใช้คณิตศาสตร์ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น คุณกำลังเล่น Draw Lowball และเห็นผู้เล่นสามคนเดิมพัน $10 แล้วแลกไพ่สองใบ ซึ่งเป็นกลยุทธ์ที่แย่มาก คุณจะคิดได้ว่าทุกครั้งที่พวกเขาเดิมพัน $10 พวกเขาเสียเงินประมาณ $2 แต่ละคนทำสิ่งนี้แปดครั้งต่อชั่วโมง ซึ่งหมายความว่าทั้งสามคนเสียเงินประมาณ 48 ดอลลาร์ต่อชั่วโมง คุณเป็นหนึ่งในผู้เล่นสี่คนที่เหลือซึ่งมีค่าใกล้เคียงกันโดยประมาณ ดังนั้นผู้เล่นสี่คนนี้ (และคุณในนั้นด้วย) จะต้องแบ่งเงิน $48 โดยแต่ละคนทำกำไรได้ $12 ต่อชั่วโมง อัตราต่อรองรายชั่วโมงของคุณในกรณีนี้จะเท่ากับส่วนแบ่งของจำนวนเงินที่เสียไปโดยผู้เล่นที่ไม่ดีสามคนในหนึ่งชั่วโมง

ในช่วงเวลาที่ยาวนาน เงินรางวัลรวมของผู้เล่นคือผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเขาในแต่ละมือ ยิ่งคุณเล่นหลายมือด้วยความคาดหวังเชิงบวก คุณก็จะยิ่งชนะมากขึ้น และในทางกลับกัน ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังเชิงลบมากเท่าไร คุณก็ยิ่งสูญเสียมากขึ้นเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ คุณควรเลือกเกมที่สามารถเพิ่มความคาดหวังเชิงบวกของคุณให้สูงสุด หรือปฏิเสธความคาดหวังเชิงลบของคุณ เพื่อให้คุณสามารถเพิ่มเงินรางวัลรายชั่วโมงได้สูงสุด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เชิงบวกในกลยุทธ์การเล่นเกม

หากคุณรู้วิธีนับไพ่ คุณสามารถได้เปรียบเหนือคาสิโน ตราบใดที่พวกเขาไม่สังเกตเห็นและโยนคุณออกไป คาสิโนชอบผู้เล่นที่เมาและไม่ยอมให้ผู้เล่นนับไพ่ ข้อได้เปรียบจะทำให้คุณชนะได้มากกว่าที่คุณแพ้เมื่อเวลาผ่านไป การจัดการเงินที่ดีโดยใช้การคำนวณมูลค่าที่คาดหวังสามารถช่วยให้คุณดึงกำไรจากความได้เปรียบของคุณได้มากขึ้นและลดการสูญเสียของคุณ ถ้าไม่มีข้อได้เปรียบ คุณก็บริจาคเงินให้การกุศลดีกว่า ในเกมในตลาดหลักทรัพย์ ระบบเกมจะมอบข้อได้เปรียบซึ่งสร้างผลกำไรมากกว่าการขาดทุน ส่วนต่างของราคา และค่าคอมมิชชั่น การจัดการเงินจำนวนไม่มากสามารถช่วยระบบเกมที่ไม่ดีได้

ความคาดหวังเชิงบวกถูกกำหนดให้เป็นค่าที่มากกว่าศูนย์ ยิ่งตัวเลขนี้มากเท่าใด ความคาดหวังทางสถิติก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น หากค่าน้อยกว่าศูนย์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ก็จะเป็นลบเช่นกัน ยิ่งโมดูลมีค่าลบมากเท่าใด สถานการณ์ก็จะยิ่งแย่ลงเท่านั้น หากผลลัพธ์เป็นศูนย์ การรอจะถือว่าคุ้มทุน คุณสามารถชนะได้ก็ต่อเมื่อคุณมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เชิงบวก และระบบการเล่นที่สมเหตุสมผล การเล่นโดยสัญชาตญาณนำไปสู่ความหายนะ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการซื้อขายหุ้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นตัวบ่งชี้ทางสถิติที่ใช้กันอย่างแพร่หลายและได้รับความนิยมเมื่อดำเนินการซื้อขายแลกเปลี่ยนในตลาดการเงิน ประการแรก พารามิเตอร์นี้ใช้เพื่อวิเคราะห์ความสำเร็จของการซื้อขาย ไม่ใช่เรื่องยากที่จะคาดเดาว่ายิ่งค่านี้สูงเท่าใด ก็ยิ่งมีเหตุผลมากขึ้นในการพิจารณาว่าการค้าที่กำลังศึกษาประสบความสำเร็จ แน่นอนว่าการวิเคราะห์งานของเทรดเดอร์ไม่สามารถทำได้โดยใช้พารามิเตอร์นี้เพียงอย่างเดียว อย่างไรก็ตาม ค่าที่คำนวณได้เมื่อรวมกับวิธีอื่นในการประเมินคุณภาพงานจะสามารถเพิ่มความแม่นยำของการวิเคราะห์ได้อย่างมาก

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มักจะคำนวณในบริการตรวจสอบบัญชีซื้อขาย ซึ่งช่วยให้คุณประเมินงานที่ทำกับเงินฝากได้อย่างรวดเร็ว ข้อยกเว้นรวมถึงกลยุทธ์ที่ใช้ "นั่งข้างนอก" การซื้อขายที่ไม่ได้ผลกำไร เทรดเดอร์อาจโชคดีได้สักระยะหนึ่ง ดังนั้นจึงอาจไม่สูญเสียงานของเขาเลย ในกรณีนี้ การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวจะไม่สามารถชี้นำได้ เนื่องจากความเสี่ยงที่ใช้ในงานจะไม่ถูกนำมาพิจารณา

ในการซื้อขายในตลาด การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์มักใช้เมื่อคาดการณ์ความสามารถในการทำกำไรของกลยุทธ์การซื้อขายใดๆ หรือเมื่อคาดการณ์รายได้ของเทรดเดอร์ตามข้อมูลทางสถิติจากการซื้อขายครั้งก่อนของเขา

ในส่วนของการจัดการเงิน สิ่งสำคัญมากคือต้องเข้าใจว่าเมื่อทำการซื้อขายโดยมีความคาดหวังเชิงลบ ไม่มีแผนการจัดการเงินที่สามารถสร้างผลกำไรสูงได้อย่างแน่นอน หากคุณยังคงเล่นตลาดหุ้นภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ไม่ว่าคุณจะจัดการเงินอย่างไร คุณจะสูญเสียบัญชีของคุณทั้งหมด ไม่ว่าจะเริ่มต้นด้วยเงินจำนวนมหาศาลก็ตาม

ความจริงนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับเกมหรือการเทรดที่มีความคาดหวังเชิงลบเท่านั้น แต่ยังเป็นจริงสำหรับเกมที่มีโอกาสเท่ากันอีกด้วย ดังนั้น ครั้งเดียวที่คุณมีโอกาสทำกำไรในระยะยาวก็คือ หากคุณทำการซื้อขายโดยมีมูลค่าที่คาดหวังเป็นบวก

ความแตกต่างระหว่างความคาดหวังเชิงลบและความคาดหวังเชิงบวกคือความแตกต่างระหว่างชีวิตและความตาย ไม่สำคัญว่าความคาดหวังจะเป็นบวกหรือลบเพียงใด สิ่งสำคัญคือไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ ดังนั้นก่อนที่จะพิจารณาเรื่องการบริหารเงิน คุณควรหาเกมที่มีความคาดหวังเชิงบวกเสียก่อน

หากคุณไม่มีเกมนั้น การจัดการเงินทั้งหมดในโลกจะไม่ช่วยคุณ ในทางกลับกัน หากคุณมีความคาดหวังเชิงบวก คุณสามารถเปลี่ยนมันให้เป็นฟังก์ชันการเติบโตแบบทวีคูณผ่านการจัดการเงินที่เหมาะสมได้ ความคาดหวังเชิงบวกจะน้อยแค่ไหนไม่สำคัญ! กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่สำคัญว่าระบบการซื้อขายจะทำกำไรได้มากเพียงใดตามสัญญาเดียว หากคุณมีระบบที่ชนะรางวัล $10 ต่อสัญญาต่อการซื้อขาย (หลังหักค่าคอมมิชชั่นและสลิปเพจ) คุณสามารถใช้เทคนิคการจัดการเงินเพื่อให้ทำกำไรได้มากกว่าระบบที่เฉลี่ย $1,000 ต่อการเทรด (หลังหักค่าคอมมิชชั่นและสลิปเพจ)

สิ่งที่สำคัญไม่ใช่ว่าระบบจะทำกำไรได้แค่ไหน แต่สำคัญแค่ไหนที่ระบบสามารถพูดได้ว่าจะแสดงผลกำไรขั้นต่ำเป็นอย่างน้อยในอนาคต ดังนั้นการเตรียมการที่สำคัญที่สุดที่เทรดเดอร์สามารถทำได้คือต้องแน่ใจว่าระบบจะแสดงมูลค่าที่คาดหวังในเชิงบวกในอนาคต

เพื่อให้มีค่าคาดหวังที่เป็นบวกในอนาคต สิ่งสำคัญมากคือการไม่จำกัดระดับความเป็นอิสระของระบบของคุณ สิ่งนี้สามารถทำได้ไม่เพียงแต่โดยการกำจัดหรือลดจำนวนพารามิเตอร์ที่จะปรับให้เหมาะสมเท่านั้น แต่ยังโดยการลดกฎของระบบให้ได้มากที่สุดอีกด้วย ทุกพารามิเตอร์ที่คุณเพิ่ม ทุกกฎที่คุณทำ ทุกการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ที่คุณทำกับระบบจะลดจำนวนระดับความเป็นอิสระ ตามหลักการแล้ว คุณต้องสร้างระบบที่ค่อนข้างดั้งเดิมและเรียบง่ายซึ่งจะสร้างผลกำไรเล็กน้อยอย่างสม่ำเสมอในเกือบทุกตลาด ขอย้ำอีกครั้ง สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจว่าไม่สำคัญว่าระบบจะทำกำไรได้แค่ไหน ตราบใดที่ยังมีผลกำไร เงินที่คุณทำในการซื้อขายจะทำผ่านการจัดการเงินที่มีประสิทธิภาพ

ระบบการซื้อขายเป็นเพียงเครื่องมือที่ให้มูลค่าที่คาดหวังในเชิงบวกเพื่อให้คุณสามารถใช้การจัดการเงินได้ ระบบที่ทำงาน (แสดงผลกำไรขั้นต่ำเป็นอย่างน้อย) ในตลาดเดียวหรือไม่กี่แห่ง หรือมีกฎหรือพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันสำหรับตลาดที่แตกต่างกัน มักจะไม่ทำงานแบบเรียลไทม์นานเพียงพอ ปัญหาของเทรดเดอร์ที่เน้นทางเทคนิคส่วนใหญ่คือพวกเขาใช้เวลาและความพยายามมากเกินไปในการเพิ่มประสิทธิภาพกฎและค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ของระบบการซื้อขาย สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ที่ตรงกันข้ามโดยสิ้นเชิง แทนที่จะเปลืองพลังงานและเวลาคอมพิวเตอร์ในการเพิ่มผลกำไรของระบบการซื้อขาย ให้ใช้พลังงานของคุณเพื่อเพิ่มระดับความน่าเชื่อถือในการได้รับผลกำไรขั้นต่ำ

เมื่อรู้ว่าการจัดการเงินเป็นเพียงเกมตัวเลขที่ต้องใช้ความคาดหวังเชิงบวก เทรดเดอร์จึงสามารถหยุดค้นหา "จอกศักดิ์สิทธิ์" ของการซื้อขายหุ้นได้ แต่เขาสามารถเริ่มทดสอบวิธีการซื้อขายของเขา ค้นหาว่าวิธีนี้สมเหตุสมผลเพียงใด และให้ความคาดหวังเชิงบวกหรือไม่ วิธีการจัดการเงินที่เหมาะสม ซึ่งนำไปใช้กับวิธีการซื้อขายใดๆ แม้แต่วิธีการซื้อขายธรรมดาๆ ก็ตาม จะทำงานส่วนที่เหลือเอง

เพื่อให้เทรดเดอร์คนใดก็ตามประสบความสำเร็จในงานของเขา เขาจำเป็นต้องแก้ไขงานที่สำคัญที่สุดสามประการ: เพื่อให้แน่ใจว่าจำนวนธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จมีมากกว่าข้อผิดพลาดและการคำนวณผิดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ตั้งค่าระบบการซื้อขายของคุณเพื่อให้คุณมีโอกาสสร้างรายได้บ่อยที่สุด บรรลุผลลัพธ์เชิงบวกที่มั่นคงจากการดำเนินงานของคุณ

และสำหรับพวกเราเทรดเดอร์ที่ทำงานแล้ว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถช่วยได้มาก คำนี้เป็นหนึ่งในคำสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถประมาณค่าเฉลี่ยของค่าสุ่มบางค่าได้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นคล้ายคลึงกับจุดศูนย์ถ่วง หากคุณจินตนาการถึงความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นจุดที่มีมวลต่างกัน

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับกลยุทธ์การซื้อขาย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำไร (หรือขาดทุน) มักใช้ในการประเมินประสิทธิผล พารามิเตอร์นี้ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของระดับกำไรและขาดทุนที่กำหนด และความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น กลยุทธ์การซื้อขายที่พัฒนาแล้วถือว่า 37% ของธุรกรรมทั้งหมดจะสร้างผลกำไร และส่วนที่เหลือ - 63% - จะไม่สามารถทำกำไรได้ ในเวลาเดียวกัน รายได้เฉลี่ยจากการทำธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จจะอยู่ที่ 7 ดอลลาร์ และการสูญเสียโดยเฉลี่ยจะอยู่ที่ 1.4 ดอลลาร์ มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการซื้อขายโดยใช้ระบบนี้:

ตัวเลขนี้หมายถึงอะไร? มันบอกว่าตามกฎของระบบนี้ โดยเฉลี่ยแล้วเราจะได้รับ $1,708 จากธุรกรรมที่ปิดแต่ละครั้ง เนื่องจากคะแนนประสิทธิภาพที่ได้นั้นมากกว่าศูนย์ ระบบดังกล่าวจึงสามารถนำไปใช้งานจริงได้ จากการคำนวณ หากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กลายเป็นลบ แสดงว่ามีการขาดทุนโดยเฉลี่ยแล้ว และการซื้อขายดังกล่าวจะนำไปสู่ความหายนะ

จำนวนกำไรต่อธุรกรรมสามารถแสดงเป็นค่าสัมพัทธ์ในรูปแบบ % ได้ด้วย ตัวอย่างเช่น:

– เปอร์เซ็นต์ของรายได้ต่อ 1 ธุรกรรม - 5%;

– เปอร์เซ็นต์ของการดำเนินการซื้อขายที่ประสบความสำเร็จ - 62%;

– เปอร์เซ็นต์การสูญเสียต่อ 1 ธุรกรรม - 3%;

– เปอร์เซ็นต์ของการทำธุรกรรมที่ไม่สำเร็จ - 38%;

นั่นคือการค้าเฉลี่ยจะนำมาซึ่ง 1.96%

มีความเป็นไปได้ที่จะพัฒนาระบบที่แม้จะมีอิทธิพลเหนือการซื้อขายที่ไม่ได้ผลกำไร แต่ก็จะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก เนื่องจาก MO>0

อย่างไรก็ตาม การรอเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ เป็นเรื่องยากที่จะทำเงินหากระบบให้สัญญาณการซื้อขายน้อยมาก ในกรณีนี้ความสามารถในการทำกำไรจะเทียบได้กับดอกเบี้ยของธนาคาร ปล่อยให้แต่ละการดำเนินงานผลิตได้โดยเฉลี่ยเพียง 0.5 ดอลลาร์ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าระบบเกี่ยวข้องกับการดำเนินงาน 1,000 ครั้งต่อปี? นี่จะเป็นจำนวนเงินที่ร้ายแรงมากในเวลาอันสั้น ตามตรรกะแล้ว คุณลักษณะที่โดดเด่นอีกประการหนึ่งของระบบการซื้อขายที่ดีถือได้ว่าเป็นช่วงระยะเวลาสั้นๆ ในการถือครองตำแหน่ง