เหตุใดการคูณด้วย 0 จึงได้ 0 ทำไมจึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้ เป็นตัวอย่างที่ดี อะไรเป็นศูนย์

การนำเสนอสำหรับบทเรียน

ดาวน์โหลดงานนำเสนอ (489.5 kB)

1. แนะนำกรณีพิเศษของการคูณด้วย 0 และ 1
2. เสริมความหมายของการคูณและสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ ฝึกทักษะการคำนวณ
3. พัฒนาความสนใจ ความจำ การดำเนินงานทางจิต การพูด ความคิดสร้างสรรค์ ความสนใจในคณิตศาสตร์

อุปกรณ์:การนำเสนอสไลด์: ภาคผนวก 1

1. ช่วงเวลาขององค์กร

วันนี้เป็นวันที่ไม่ธรรมดาสำหรับเรา มีแขกมาร่วมบทเรียน ทำให้ฉัน เพื่อนของคุณ และแขกของคุณมีความสุขกับความสำเร็จของคุณ เปิดสมุดบันทึก จดตัวเลข เยี่ยมมาก ตรงขอบ ให้สังเกตอารมณ์ของคุณเมื่อเริ่มบทเรียน สไลด์ 2.

ทั้งชั้นพูดซ้ำตารางสูตรคูณบนไพ่และพูดออกมาดังๆ (เด็ก ๆ ทำเครื่องหมายคำตอบที่ไม่ถูกต้องด้วยการปรบมือ)

บทเรียนพลศึกษา (“ ยิมนาสติกสมอง”, “ หมวกสำหรับการคิด”, การหายใจ)

2. คำชี้แจงภารกิจการศึกษา

2.1. งานเพื่อพัฒนาความสนใจ

บนกระดานและบนโต๊ะเด็ก ๆ มีภาพสองสีพร้อมตัวเลข:

– ตัวเลขที่เขียนมีความน่าสนใจอย่างไร? (เขียนด้วยสีต่างๆ ตัวเลข "สีแดง" ทั้งหมดเป็นเลขคู่ และตัวเลข "สีน้ำเงิน" เป็นเลขคี่)
– เลขไหนเป็นเลขคี่? (10 เป็นทรงกลม และที่เหลือไม่ใช่ 10 เป็นตัวเลขสองหลัก ส่วนที่เหลือเป็นตัวเลขหลักเดียว 5 ซ้ำสองครั้ง และส่วนที่เหลือ - ทีละหลัก)
– ฉันจะปิดหมายเลข 10 มีตัวพิเศษจากหมายเลขอื่นหรือไม่? (3 – เขาไม่มีคู่จนกว่าจะครบ 10 ขวบ แต่ที่เหลือมี)
– หาผลรวมของตัวเลข “สีแดง” ทั้งหมดแล้วเขียนลงในสี่เหลี่ยมสีแดง (30.)
– หาผลรวมของตัวเลข “สีน้ำเงิน” ทั้งหมดแล้วเขียนลงในสี่เหลี่ยมสีน้ำเงิน (23.)
– 30 มากกว่า 23 มีค่าเท่าไร? (วันที่ 7.)
– 23 น้อยกว่า 30 เท่าไหร่? (เวลา 7 โมงเช่นกัน)
– คุณใช้การกระทำใดในการค้นหา? (การลบ) สไลด์ 3

2.2. งานเพื่อพัฒนาความจำและการพูด อัพเดทความรู้.

ก) – ทำซ้ำตามลำดับคำที่ฉันจะตั้งชื่อ: บวก, บวก, ผลรวม, ลบ, ลบ, ความแตกต่าง (เด็ก ๆ พยายามทำซ้ำลำดับของคำ)
– องค์ประกอบใดของการกระทำที่ถูกตั้งชื่อ? (การบวกและการลบ)
– คุณยังคุ้นเคยกับการกระทำอะไร? (การคูณ การหาร)
– บอกชื่อส่วนประกอบของการคูณ (ตัวคูณ ตัวคูณ ผลคูณ)
– ปัจจัยแรกหมายถึงอะไร? (เงื่อนไขที่เท่ากันในผลรวม)
– ปัจจัยที่สองหมายถึงอะไร? (จำนวนข้อกำหนดดังกล่าว)

เขียนคำจำกัดความของการคูณ.

b) – ดูบันทึกย่อ คุณจะทำภารกิจอะไร?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
ก + ก + ก

(แทนที่ผลรวมด้วยผลิตภัณฑ์)

อะไรจะเกิดขึ้น? (นิพจน์แรกมี 5 พจน์ แต่ละพจน์มีค่าเท่ากับ 12 จึงเท่ากับ 12 5 ในทำนองเดียวกัน - 33 4 และ 3)

c) – ตั้งชื่อการดำเนินการผกผัน (แทนที่ผลิตภัณฑ์ด้วยผลรวม)

– แทนที่ผลิตภัณฑ์ด้วยผลรวมในนิพจน์: 99 2. 8 4. ข 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, ข + ข + ข). สไลด์ 4.

d) ความเท่าเทียมกันถูกเขียนไว้บนกระดาน:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

รูปภาพจะถูกวางไว้ถัดจากแต่ละสมการ

– พวกสัตว์ในโรงเรียนป่าไม้กำลังทำภารกิจให้สำเร็จ พวกเขาทำถูกต้องหรือไม่?

เด็กๆ ยืนยันว่าช้าง เสือ กระต่าย และกระรอกเข้าใจผิด และอธิบายว่าข้อผิดพลาดของพวกเขาคืออะไร สไลด์ 5.

จ) เปรียบเทียบนิพจน์:

8 5. 5 8
5 6. 3 6
34 9… 31 2
ก 3 ก 2 + ก

(8 5 = 5 8 เนื่องจากผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่
5 6 > 3 6 เนื่องจากมี 6 เทอมทางซ้ายและขวา แต่ทางซ้ายมีมากกว่า
34 9 > 31 2. เนื่องจากมีเทอมทางด้านซ้ายมากกว่าและเทอมนั้นมีขนาดใหญ่กว่า
a 3 = a 2 + a เนื่องจากทางซ้ายและขวามี 3 พจน์เท่ากับ a)

– ตัวอย่างแรกใช้คุณสมบัติการคูณข้อใด (สลับสับเปลี่ยน) สไลด์ 6

2.3. การกำหนดปัญหา ตั้งเป้าหมาย.

ความเท่าเทียมกันมีจริงหรือไม่? ทำไม (ถูกต้อง เนื่องจากผลรวมคือ 5 + 5 + 5 = 15 จากนั้นผลรวมจะกลายเป็น 5 อีกหนึ่งเทอม และผลรวมเพิ่มขึ้น 5)

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– ดำเนินการต่อรูปแบบนี้ไปทางขวา (5 7 = 35; 5 8 = 40.)
– ดำเนินการต่อไปทางซ้ายทันที (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
– สำนวน 5 1 หมายถึงอะไร? 50? (? ปัญหา!)

อย่างไรก็ตาม สำนวน 5 1 และ 5 0 ไม่สมเหตุสมผล เราสามารถตกลงที่จะถือว่าความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นจริงได้ แต่ในการทำสิ่งนี้ เราต้องตรวจสอบว่าเราจะละเมิดสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณหรือไม่

ดังนั้นเป้าหมายของบทเรียนของเราคือ พิจารณาว่าเราสามารถนับความเท่าเทียมกันได้หรือไม่ 5 1 = 5 และ 5 0 = 0 จริงเหรอ?

- ปัญหาบทเรียน! สไลด์ 7

3. “การค้นพบ” ความรู้ใหม่จากเด็กๆ

ก) – ทำตามขั้นตอน: 1 7, 1 4, 1 5.

เด็ก ๆ แก้ตัวอย่างด้วยความคิดเห็นในสมุดบันทึกและบนกระดาน:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

– สรุป: 1 ก – ? (1 ก = ก)การ์ดแสดงขึ้น: 1 a = a

b) – สำนวน 7 1, 4 1, 5 1 สมเหตุสมผลหรือไม่? ทำไม (ไม่ใช่ เนื่องจากผลรวมไม่สามารถมีได้เพียงเทอมเดียว)

– ควรมีค่าเท่ากับเท่าใดจึงจะไม่ละเมิดสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ? (7 1 ต้องเท่ากับ 7 ด้วย ดังนั้น 7 1 = 7)

4 1 = 4 ถือว่าคล้ายกัน 5 1 = 5.

– สรุป: a 1 = ? (ก 1 = ก)

การ์ดจะปรากฏขึ้น: a 1 = a ไพ่ใบแรกวางซ้อนบนไพ่ใบที่สอง: a 1 = 1 a = a

– ข้อสรุปของเราตรงกับสิ่งที่เราได้บนเส้นจำนวนหรือไม่? (ใช่.)
– แปลความเท่าเทียมนี้เป็นภาษารัสเซีย (เมื่อคุณคูณตัวเลขด้วย 1 หรือ 1 ด้วยตัวเลข คุณจะได้ตัวเลขเดียวกัน)
- ทำได้ดี! ดังนั้น เราจะถือว่า: a 1 = 1 a = a สไลด์ 8

2) กรณีของการคูณด้วย 0 มีการศึกษาในลักษณะเดียวกัน สรุป:

– เมื่อคูณตัวเลขด้วย 0 หรือ 0 ด้วยตัวเลข จะได้ศูนย์: a 0 = 0 a = 0 สไลด์ 9
– เปรียบเทียบความเท่าเทียมกันทั้งสอง: 0 และ 1 ทำให้คุณนึกถึงอะไร?

เด็ก ๆ แสดงออกถึงเวอร์ชันของตนเอง คุณสามารถดึงความสนใจไปที่รูปภาพได้:

1 – “กระจก”, 0 – “สัตว์ร้าย” หรือ “หมวกที่มองไม่เห็น”

ทำได้ดี! ดังนั้น คูณ 1 ก็ได้จำนวนเท่ากัน (1 – “กระจกเงา”)และเมื่อคูณด้วย 0 จะได้ 0 ( 0 – “หมวกที่มองไม่เห็น”)

4. พลศึกษา (สำหรับตา – “วงกลม”, “ขึ้นและลง”, สำหรับมือ – “ล็อค”, “หมัด”)

5. การรวมบัญชีเบื้องต้น

ตัวอย่างที่เขียนไว้บนกระดาน:

เด็ก ๆ แก้พวกเขาในสมุดบันทึกและบนกระดานโดยออกเสียงกฎผลลัพธ์ออกมาดัง ๆ เช่น:

3 1 = 3 เนื่องจากเมื่อคูณตัวเลขด้วย 1 จะได้จำนวนที่เท่ากัน (1 คือ "กระจกเงา") เป็นต้น

ก) 145 x = 145; ข) x 437 = 437.

– เมื่อคูณ 145 ด้วยตัวเลขที่ไม่รู้จัก มันกลายเป็น 145 ก็เลยคูณด้วย 1 x= 1. ฯลฯ

– เมื่อคูณ 8 ด้วยตัวเลขไม่ทราบค่า ผลลัพธ์จะเป็น 0 ดังนั้น คูณด้วย 0 x = 0 เป็นต้น

6. งานอิสระพร้อมการทดสอบในชั้นเรียน. สไลด์ 10.

เด็ก ๆ แก้ตัวอย่างที่เป็นลายลักษณ์อักษรได้อย่างอิสระ แล้วตามแบบที่เสร็จแล้ว.

ตามตัวอย่าง พวกเขาตรวจสอบคำตอบโดยออกเสียงออกมาดัง ๆ ทำเครื่องหมายตัวอย่างที่แก้ไขได้ถูกต้องด้วยเครื่องหมายบวก และแก้ไขข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น ผู้ที่ทำผิดพลาดจะได้รับงานที่คล้ายกันในการ์ดและทำงานเป็นรายบุคคลในขณะที่ชั้นเรียนแก้ปัญหาการทำซ้ำ

7. งานทำซ้ำ (ทำงานเป็นคู่). สไลด์ 11

ก) – คุณต้องการที่จะรู้ว่าสิ่งที่รอคุณอยู่ในอนาคตหรือไม่? คุณจะพบโดยการถอดรหัสการบันทึก:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

การคูณด้วยกฎ 1 และ 0

ตามคำจำกัดความที่ยอมรับกันโดยทั่วไป ศูนย์คือจำนวนที่แยกจำนวนบวกออกจากจำนวนลบบนเส้นจำนวน ศูนย์- นี่เป็นสถานที่ที่มีปัญหามากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้วย ศูนย์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตรรกะ แต่ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ยอมรับโดยทั่วไป

ตัวอย่างแรกของปัญหา ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ ในโรงเรียนรัสเซีย ศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ ในโรงเรียนอื่น 0 คือจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากแนวคิดของ "จำนวนธรรมชาติ" คือการแยกตัวเลขจำนวนหนึ่งออกจากจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดตามเกณฑ์ที่กำหนด จึงไม่สามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ถึงความเป็นธรรมชาติหรือความไม่เป็นธรรมชาติของศูนย์ได้ ศูนย์ถือเป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางซึ่งสัมพันธ์กับการดำเนินการบวกและการลบ

ศูนย์ถือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ได้ลงนาม อีกด้วย ศูนย์ถือเป็นจำนวนคู่เนื่องจากการหาร 0 ด้วย 2 ทำให้เกิดจำนวนเต็ม ศูนย์.

ศูนย์เป็นเลขตัวแรกในระบบเลขมาตรฐานทั้งหมด ในระบบตัวเลขตำแหน่งซึ่งมีระบบเลขทศนิยมที่เราคุ้นเคยอยู่นั้นคือตัวเลข ศูนย์บ่งชี้ว่าไม่มีค่าสำหรับตัวเลขที่กำหนดเมื่อเขียนตัวเลข ชาวมายันใช้ศูนย์ในระบบเลขฐานสองของพวกเขาเมื่อหนึ่งพันปีก่อนนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย แต่ละเดือนจะเริ่มต้นด้วยศูนย์วันในปฏิทินของชาวมายัน ที่น่าสนใจคือป้ายเดียวกัน ศูนย์นักคณิตศาสตร์ชาวมายันยังระบุถึงอนันต์ซึ่งเป็นปัญหาที่สองของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

คำ " ศูนย์" ในภาษาอาหรับจะออกเสียงว่า "syfr" จากคำภาษาอาหรับ ศูนย์(syfr) คำว่า “หลัก” เกิดขึ้น

วิธีสะกดให้ถูกต้อง - ศูนย์หรือ ศูนย์- คำว่าศูนย์และศูนย์มีความหมายเหมือนกันแต่ใช้ต่างกัน โดยปกติ, ศูนย์ใช้ในการพูดในชีวิตประจำวันและในชุดค่าผสมที่มั่นคงจำนวนหนึ่ง ศูนย์- ในคำศัพท์ในคำพูดทางวิทยาศาสตร์ การสะกดทั้งสองคำของคำนี้จะถูกต้อง ตัวอย่างเช่น: การหารด้วยศูนย์. จำนวนเต็มศูนย์ ไม่มีความสนใจ เป็นศูนย์โดยไม่ต้องติด ศูนย์สัมบูรณ์ ศูนย์จุดห้า

ในไวยากรณ์อนุพันธ์ของคำจากคำ ศูนย์และ ศูนย์เขียนดังนี้: ศูนย์หรือศูนย์, ศูนย์หรือศูนย์, ศูนย์หรือศูนย์, ศูนย์หรือน้อยกว่าปกติ, ศูนย์, ศูนย์-ศูนย์ ตัวอย่างเช่น: ต่ำกว่าศูนย์. เท่ากับศูนย์ ลดเหลือศูนย์. เส้นลมปราณเป็นศูนย์ ระยะทางเป็นศูนย์ เวลาสิบสองนาฬิกา

ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีศูนย์ ผลลัพธ์ต่อไปนี้ถูกกำหนดไว้ในปัจจุบัน:

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป- หากคุณบวกเข้ากับตัวเลขใดๆ ศูนย์ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าจะ ศูนย์เพิ่มตัวเลขใด ๆ ผลลัพธ์ของการบวกจะเหมือนกับตัวเลขใด ๆ :

การลบ- ถ้าคุณลบออกจากตัวเลขใดๆ ศูนย์ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าจาก ศูนย์ลบตัวเลขใดๆ แล้วผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกันที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

การคูณ- ถ้าจำนวนใด ๆ คูณด้วยศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ ถ้าศูนย์คูณด้วยตัวเลขใดๆ ผลลัพธ์จะเป็น ศูนย์:

แผนก- หารด้วย ศูนย์ห้ามเพราะไม่มีผลลัพธ์ มุมมองที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปเกี่ยวกับปัญหาการหารด้วยศูนย์ถูกกำหนดไว้ในงานของ Alexander Sergeev” ทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์?- สำหรับผู้ที่อยากรู้อยากเห็น มีบทความอีกบทความหนึ่งที่กล่าวถึงความเป็นไปได้ของการหารด้วยศูนย์:

a: 0 = ไม่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์ในที่นั้น กไม่เท่ากับศูนย์

ศูนย์หารด้วยศูนย์- นิพจน์ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากไม่สามารถกำหนดได้:

0: 0 = การแสดงออกไม่สมเหตุสมผล

ศูนย์หารด้วยตัวเลข- ถ้า ศูนย์หารด้วยตัวเลขผลลัพธ์จะเป็นเสมอ ศูนย์ไม่ว่าตัวเลขใดในตัวส่วนก็ตาม (ข้อยกเว้นสำหรับกฎนี้คือตัวเลข ศูนย์, ดูด้านบน):

0:a=0ในที่นั้น กไม่เท่ากับศูนย์

เป็นศูนย์ถึงกำลัง — ศูนย์เท่ากับระดับใดก็ได้ ศูนย์:

0 ก = 0ในที่นั้น กไม่เท่ากับศูนย์

การยกกำลัง- ตัวเลขใด ๆ ที่กำลังยกกำลัง ศูนย์เท่ากับหนึ่ง (ตัวเลขยกกำลัง 0):

0 = 1ในที่นั้น กไม่เท่ากับศูนย์

ศูนย์ยกกำลังของศูนย์- นิพจน์ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากไม่สามารถกำหนดได้ (ศูนย์ถึงกำลัง 0, 0 ถึงกำลัง 0):

0 0 = การแสดงออกไม่สมเหตุสมผล

การสกัดราก- รากในระดับใดก็ได้ ศูนย์เท่ากับ ศูนย์:

0 1/ก = 0ในที่นั้น กไม่เท่ากับศูนย์

แฟกทอเรียล— แฟกทอเรียลของศูนย์หรือศูนย์แฟคทอเรียลเท่ากับหนึ่ง:

การกระจายตัวของตัวเลข- เมื่อคำนวณการกระจายตัวของตัวเลข ศูนย์ถือเป็นตัวเลขที่ไม่สำคัญ เปลี่ยนแนวทางในการคำนวณการแจกแจงตัวเลขเมื่อใด ศูนย์ถือเป็นหลักสำคัญจะช่วยให้คุณได้รับผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นของการแจกแจงหลักในระบบตัวเลขมาตรฐานทั้งหมดรวมถึงระบบเลขฐานสองด้วย

ใครสนใจคำถามถึงที่มา ศูนย์ฉันขอแนะนำให้อ่านบทความ "The History of Zero" โดย J. J. O'Connor และ E. F. Robertson แปลโดย I. Yu.

หากคุณชอบโพสต์และต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม โปรดช่วยฉันดำเนินการกับเนื้อหาอื่นๆ

ตอนนี้โฆษณาชิ้นเล็กๆ เครื่องกรองน้ำที่บ้านจะช่วยทำให้น้ำบริสุทธิ์และปลอดภัยในการดื่มมากขึ้น คุณภาพของน้ำประปาในปัจจุบันไม่เป็นไปตามข้อกำหนดด้านความปลอดภัยต่อสุขภาพของมนุษย์ การใช้เครื่องกรองน้ำกลายเป็นสิ่งจำเป็นในทุกบ้าน

การสร้างเว็บไซต์ราคา,การผลิตเว็บไซต์มอสโก การสร้างและการผลิตเว็บไซต์ Mira Avenue จะช่วยคุณค้นหาตัวแทนของคุณในโลกเสมือนจริง เว็บไซต์ที่สวยงามและใช้งานได้จริงสำหรับความต้องการที่หลากหลาย สร้างเว็บไซต์ให้ตรงตามความต้องการของคุณ

โครงการพิเศษ “45 นาที” จัดการแข่งขันเป็นประจำสำหรับครูสาขาวิชาวิชาการต่างๆ การสร้างเพจของตัวเอง แฟ้มสะสมผลงานครู แบ่งปันประสบการณ์การสอน การเตรียมตัวสอบ

ndspaces.narod.ru

วิธีคูณ 0.1

ลองดูกฎและดูตัวอย่างวิธีคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 0.1

ดังนั้นการคูณตัวเลขด้วย 0.1 สามารถแทนที่ได้ด้วยการหารด้วย 10 โดยทั่วไปสามารถเขียนได้ดังนี้:

นี่คือที่กฎดังต่อไปนี้

กฎสำหรับการคูณด้วย 0.1

หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 0.1 คุณจะต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคในสัญลักษณ์ของตัวเลขหลักนี้ไปทางซ้าย

เมื่อเขียนจำนวนธรรมชาติ ห้ามเขียนลูกน้ำต่อท้าย:

การคูณจำนวนธรรมชาติด้วย 0.1 หมายถึงการเลื่อนลูกน้ำไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง:

หากหลักสุดท้ายของจำนวนธรรมชาติเป็นศูนย์ การคูณตัวเลขนี้ด้วย 0.1 จะทำให้เกิดจำนวนธรรมชาติ (เนื่องจากศูนย์หลังจุดทศนิยมไม่ได้เขียนไว้ท้ายตัวเลข):

หากต้องการคูณเศษส่วนร่วมด้วย 0.1 คุณต้องแปลงเศษส่วนทั้งสองให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน โดยอาจแปลงเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยม หรือแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วมก็ได้

www.for6cl.uznateshe.ru

กฎสำหรับการคูณตัวเลขใดๆ ด้วยศูนย์

แม้แต่ที่โรงเรียนครูก็พยายามตอกย้ำกฎที่ง่ายที่สุดในหัวของเรา: “จำนวนใดๆ คูณด้วยศูนย์ก็จะเท่ากับศูนย์!”, – แต่ยังคงมีความขัดแย้งมากมายเกิดขึ้นรอบตัวเขาอยู่ตลอดเวลา บางคนแค่จำกฎได้และไม่กังวลกับคำถามที่ว่า “ทำไม” “คุณทำไม่ได้และก็แค่นั้นแหละ เพราะพวกเขาพูดอย่างนั้นที่โรงเรียน กฎก็คือกฎ!” บางคนสามารถเติมสูตรลงในสมุดบันทึกได้ครึ่งเล่มเพื่อพิสูจน์กฎนี้หรือในทางกลับกันคือความไร้เหตุผล

ใครถูกในที่สุด?

ในระหว่างข้อพิพาทเหล่านี้ ทั้งสองคนที่มีมุมมองที่ขัดแย้งกันจะมองหน้ากันเหมือนแกะผู้และพิสูจน์อย่างสุดความสามารถว่าพวกเขาพูดถูก แม้ว่าถ้าคุณมองจากด้านข้างคุณจะไม่เห็นแกะตัวใดตัวหนึ่ง แต่มีแกะสองตัวที่วางเขาไว้ซึ่งกันและกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างพวกเขาคือคนหนึ่งมีการศึกษาน้อยกว่าอีกคนหนึ่งเล็กน้อย

สิ่งนี้น่าสนใจ: คำศัพท์บิต - คืออะไร?

บ่อยครั้งที่ผู้ที่คิดว่ากฎนี้ไม่ถูกต้องพยายามอุทธรณ์ตรรกะในลักษณะนี้:

ฉันมีแอปเปิ้ลสองลูกบนโต๊ะถ้าฉันใส่แอปเปิ้ลเป็นศูนย์นั่นคือฉันไม่ใส่ลูกเดียวแอปเปิ้ลทั้งสองของฉันก็จะไม่หายไป! กฎนั้นไร้เหตุผล!

แท้จริงแล้วแอปเปิ้ลจะไม่หายไปทุกที่ แต่ไม่ใช่เพราะกฎนั้นไร้เหตุผล แต่เนื่องจากมีการใช้สมการที่แตกต่างกันเล็กน้อยที่นี่: 2 + 0 = 2 ดังนั้นเรามาทิ้งข้อสรุปนี้ทันที - มันไร้เหตุผลแม้ว่าจะมีจุดประสงค์ตรงกันข้ามก็ตาม - เพื่อเรียกตรรกะ

สิ่งนี้น่าสนใจ: จะหาความแตกต่างระหว่างตัวเลขในคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

การคูณคืออะไร

เดิมทีเป็นกฎการคูณถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น การคูณคือจำนวนที่บวกเข้ากับตัวมันเองด้วยจำนวนครั้งที่กำหนด ซึ่งบอกเป็นนัยว่าจำนวนนั้นเป็นธรรมชาติ ดังนั้น จำนวนใดๆ ที่มีการคูณสามารถลดลงได้เป็นสมการนี้:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

จากสมการนี้เป็นไปตามนั้น การคูณนั้นเป็นการบวกแบบง่าย.

สิ่งนี้น่าสนใจ: อะไรคือคอร์ดของวงกลมในเรขาคณิต ความหมาย และคุณสมบัติ

อะไรเป็นศูนย์

ใครๆ ก็รู้ตั้งแต่สมัยเด็กๆ ว่าศูนย์คือความว่างเปล่า แม้ว่าความว่างเปล่านี้จะมีการกำหนดไว้ แต่ก็ไม่ได้นำพาอะไรเลย นักวิทยาศาสตร์ตะวันออกโบราณคิดแตกต่างออกไป - พวกเขาเข้าหาประเด็นนี้ในเชิงปรัชญาและเชื่อมโยงระหว่างความว่างเปล่ากับอนันต์ และเห็นความหมายอันลึกซึ้งในตัวเลขนี้ ท้ายที่สุดแล้ว ศูนย์ซึ่งมีความหมายถึงความว่างเปล่า ยืนอยู่ถัดจากจำนวนธรรมชาติใดๆ จะคูณมันสิบครั้ง ดังนั้นข้อโต้แย้งทั้งหมดเกี่ยวกับการคูณ - ตัวเลขนี้มีความไม่สอดคล้องกันมากจนกลายเป็นเรื่องยากที่จะไม่สับสน นอกจากนี้ เลขศูนย์ยังถูกใช้อย่างต่อเนื่องเพื่อกำหนดตัวเลขว่างเป็นเศษส่วนทศนิยม โดยจะทำทั้งก่อนและหลังจุดทศนิยม

เป็นไปได้ไหมที่จะคูณด้วยความว่างเปล่า?

คุณสามารถคูณด้วยศูนย์ได้ แต่มันไม่มีประโยชน์ เพราะไม่ว่าจะพูดอะไรก็ตาม แม้ว่าจะคูณจำนวนลบ ผลลัพธ์ก็จะยังคงเป็นศูนย์ แค่จำกฎง่ายๆ นี้ก็พอแล้วไม่ต้องถามคำถามนี้อีก ในความเป็นจริงทุกอย่างง่ายกว่าที่คิดไว้ตั้งแต่แรกเห็น ไม่มีความหมายและความลับที่ซ่อนอยู่อย่างที่นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อกัน ด้านล่างนี้เราจะให้คำอธิบายที่สมเหตุสมผลที่สุดว่าการคูณนี้ไม่มีประโยชน์ เพราะเมื่อคุณคูณตัวเลข คุณจะยังคงได้ค่าเดิม นั่นคือศูนย์

สิ่งนี้น่าสนใจ: โมดูลัสของตัวเลขคืออะไร?

กลับไปที่จุดเริ่มต้นเพื่อโต้แย้งเกี่ยวกับแอปเปิ้ลสองตัว 2 คูณ 0 จะเป็นดังนี้:

• ถ้าคุณกินแอปเปิ้ลสองผลห้าครั้ง คุณจะกินแอปเปิ้ล 2×5 = 2+2+2+2+2 = แอปเปิ้ล 10 ผล
• ถ้าคุณกินสองในสามครั้ง คุณจะกินแอปเปิ้ล 2×3 = 2+2+2 = 6 แอปเปิ้ล
• ถ้าคุณกินแอปเปิ้ลสองลูกเป็นศูนย์ครั้ง ก็จะไม่มีอะไรกินเลย - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

ท้ายที่สุดแล้ว การกินแอปเปิ้ล 0 ครั้งหมายถึงการไม่กินแอปเปิ้ลสักลูกเดียว สิ่งนี้จะชัดเจนแม้กระทั่งเด็กที่ตัวเล็กที่สุด ไม่ว่าใครจะพูดอะไรก็ตาม ผลลัพธ์จะเป็น 0 สองหรือสามสามารถแทนที่ด้วยตัวเลขใดๆ ก็ได้ และผลลัพธ์จะเหมือนกันทุกประการ และพูดง่ายๆ ก็คือ ศูนย์ไม่มีอะไรเลยและคุณมีเมื่อไหร่ ไม่มีอะไรแล้วคูณเท่าไหร่ก็ยังเหมือนเดิม จะเป็นศูนย์- ไม่มีสิ่งมหัศจรรย์ และไม่มีอะไรจะสร้างแอปเปิ้ลได้ แม้ว่าคุณจะคูณ 0 ด้วยล้านก็ตาม นี่เป็นคำอธิบายที่ง่ายที่สุด เข้าใจได้มากที่สุด และสมเหตุสมผลที่สุดเกี่ยวกับกฎการคูณด้วยศูนย์ สำหรับผู้ที่อยู่ห่างไกลจากสูตรและคณิตศาสตร์ทั้งหมด คำอธิบายดังกล่าวจะเพียงพอสำหรับความไม่สอดคล้องกันในหัวที่จะแก้ไขและทุกอย่างจะเข้าที่

จากทั้งหมดข้างต้น มีกฎสำคัญอีกข้อหนึ่งดังต่อไปนี้:

คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!

กฎข้อนี้ยังฝังอยู่ในหัวของเราอย่างต่อเนื่องมาตั้งแต่เด็ก เรารู้แค่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำทุกอย่างโดยปราศจากข้อมูลที่ไม่จำเป็น หากคุณถูกถามคำถามโดยไม่คาดคิดว่าทำไมจึงห้ามหารด้วยศูนย์ ส่วนใหญ่จะสับสนและจะไม่สามารถตอบคำถามที่ง่ายที่สุดจากหลักสูตรของโรงเรียนได้อย่างชัดเจน เนื่องจากมีข้อพิพาทและความขัดแย้งไม่มากนักเกี่ยวกับกฎนี้

ทุกคนเพียงจำกฎและไม่ได้หารด้วยศูนย์โดยไม่สงสัยว่าคำตอบนั้นซ่อนอยู่บนพื้นผิว การบวก การคูณ การหาร และการลบไม่เท่ากัน จากที่กล่าวมาข้างต้น มีเพียงการคูณและการบวกเท่านั้นที่ถูกต้อง และการจัดการอื่นๆ ทั้งหมดด้วยตัวเลขก็ถูกสร้างขึ้นจากสิ่งเหล่านี้ นั่นคือ รายการ 10: 2 เป็นตัวย่อของสมการ 2 * x = 10 ซึ่งหมายความว่ารายการ 10: 0 เป็นตัวย่อเดียวกันกับ 0 * x = 10 ปรากฎว่าการหารด้วยศูนย์เป็นงานที่ต้อง ค้นหาตัวเลขคูณด้วย 0 คุณจะได้ 10 และเรารู้แล้วว่าตัวเลขดังกล่าวไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่าสมการนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา และมันจะเป็นนิรนัยที่ไม่ถูกต้อง

ให้ฉันบอกคุณ,

เพื่อไม่ให้หารด้วย 0!

ตัด 1 ตามที่คุณต้องการตามยาว

อย่าเพิ่งหารด้วย 0!

education.guru

การคูณด้วย 0 และ 1 ชั้นประถมศึกษาปีที่ 2

การนำเสนอสำหรับบทเรียน

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• เกี่ยวกับการศึกษา:
  • พัฒนาความสามารถในการคูณด้วยศูนย์และหนึ่ง
  • พัฒนาความสามารถในการอ่านนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้องและตั้งชื่อส่วนประกอบของการคูณ
  • รวมความสามารถในการแทนที่ผลคูณของตัวเลขด้วยผลรวมและคำนวณมูลค่าด้วยวาจา พัฒนาทักษะเบื้องต้นในการทำงานกับแบบทดสอบ
• พัฒนาการ:
  • ส่งเสริมการพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ ความจำในการทำงาน ความสนใจโดยสมัครใจ การคิดด้วยภาพและการคิดอย่างมีประสิทธิภาพ
• เกี่ยวกับการศึกษา:
  • ปลูกฝังวัฒนธรรมของพฤติกรรมในระหว่างการทำงานแนวหน้าและงานรายบุคคล สนใจในเรื่อง

ประเภทบทเรียน– บทเรียนในการค้นพบความรู้ใหม่

การพัฒนาทักษะใหม่ทำได้เฉพาะในกิจกรรมเท่านั้น ดังนั้นจึงใช้เทคโนโลยีของวิธีการกิจกรรมในการพัฒนาบทเรียน การใช้เทคโนโลยีนี้เป็นปัจจัยสำคัญในการเพิ่มประสิทธิภาพการเรียนรู้ของนักเรียนในวิชาความรู้และการก่อตัวของการดำเนินการทางการศึกษาที่เป็นสากล: กฎระเบียบ, การสื่อสาร, ความรู้ความเข้าใจ.

บทเรียนที่พัฒนาแล้วมีโครงสร้างดังต่อไปนี้:

1. การได้รับประสบการณ์เบื้องต้นในการดำเนินการและแรงจูงใจ
2. การก่อตัวของวิธีการใหม่ (อัลกอริทึม) ของการดำเนินการ การสร้างการเชื่อมต่อหลักกับวิธีการที่มีอยู่
3. การฝึกอบรม การชี้แจงการเชื่อมโยง การควบคุมตนเอง และการแก้ไข
4. การควบคุม.

อุปกรณ์สำหรับบทเรียน:

• มาตรฐาน:หนังสือเรียน, ตารางกรอกคำตอบของข้อสอบ, ดาวทำจากกระดาษสี, คำเตือนสำหรับนักเรียน
• นวัตกรรม:เครื่องฉายมัลติมีเดีย กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ การนำเสนอมัลติมีเดีย “การเดินทางสู่โลกแห่งการคูณ”

การใช้ส่วนประกอบมัลติมีเดียในบทเรียนจะทำให้เกิดองค์ประกอบที่แปลกใหม่ ทำให้กระบวนการทำงานเป็นภาพ และช่วยให้ครูมีสมาธิกับประเด็นหลัก งานในแต่ละขั้นตอนของบทเรียนมีโครงสร้างเป็นบทสนทนาระหว่างครูและนักเรียน โดยมีกระดานโต้ตอบทำหน้าที่เป็นผู้สาธิตในการแก้คำถาม การใช้ในกระบวนการศึกษาช่วยให้คุณบรรลุประสิทธิผลในระดับสูง

ตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์ ศูนย์ครอบครองสถานที่พิเศษ ความจริงก็คือโดยพื้นฐานแล้วมันหมายถึง "ไม่มีอะไร" "ความว่างเปล่า" แต่ความสำคัญของมันนั้นยากที่จะประเมินค่าสูงไป ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะจำอย่างน้อยว่าอะไรกันแน่ เครื่องหมายศูนย์และการนับพิกัดตำแหน่งของจุดในระบบพิกัดใด ๆ จะเริ่มขึ้น

ศูนย์ใช้กันอย่างแพร่หลายในเศษส่วนทศนิยมเพื่อกำหนดค่าของตำแหน่งที่ “ว่าง” ทั้งก่อนและหลังจุดทศนิยม นอกจากนี้กฎพื้นฐานประการหนึ่งของเลขคณิตยังเกี่ยวข้องด้วยซึ่งระบุว่า ศูนย์ไม่สามารถแบ่งได้ พูดอย่างเคร่งครัด ตรรกะของมันเกิดขึ้นจากแก่นแท้ของตัวเลขนี้ จริงๆ แล้วเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่าคุณค่าบางอย่างที่แตกต่างจากตัวเลขนี้ (และตัวมันเองด้วย) จะถูกแบ่งออกเป็น "ไม่มีเลย"

ตัวอย่างการคำนวณ

กับ ศูนย์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดดำเนินการ และในฐานะ "พันธมิตร" พวกเขาสามารถใช้จำนวนเต็ม เศษส่วนสามัญและทศนิยม และทั้งหมดสามารถมีทั้งค่าบวกและลบ ให้เรายกตัวอย่างการใช้งานและคำอธิบายบางส่วนสำหรับพวกเขา

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

เมื่อเพิ่ม ศูนย์เป็นจำนวนหนึ่ง (ทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน ทั้งบวกและลบ) ค่าของมันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงอย่างแน่นอน

ยี่สิบสี่บวก ศูนย์เท่ากับยี่สิบสี่

สิบเจ็ดจุดสามแปดบวก ศูนย์เท่ากับสิบเจ็ดจุดสามแปด

การคูณ

เมื่อคูณตัวเลขใดๆ (จำนวนเต็ม เศษส่วน บวกหรือลบ) ด้วย ศูนย์ปรากฎว่า ศูนย์.

ห้าร้อยแปดสิบหกครั้ง ศูนย์เท่ากับ ศูนย์.

ศูนย์คูณด้วยหนึ่งร้อยสามสิบห้าจุดหกเจ็ดเท่ากับ ศูนย์.

ศูนย์คูณด้วย ศูนย์เท่ากับ ศูนย์.

แผนก

กฎสำหรับการหารตัวเลขในกรณีที่ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับบทบาทของตัวศูนย์เอง: เงินปันผลหรือตัวหาร?

ในกรณีที่ ศูนย์หมายถึงเงินปันผลผลลัพธ์จะเท่ากับมันเสมอไม่ว่าค่าตัวหารจะเป็นอย่างไร

ศูนย์หารด้วยสองร้อยหกสิบห้าเท่ากับ ศูนย์.

ศูนย์หารด้วยสิบเจ็ดห้าร้อยเก้าสิบหกเท่ากับ ศูนย์.

แบ่ง ศูนย์ถึงศูนย์ตามกฎของคณิตศาสตร์ มันเป็นไปไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเมื่อดำเนินการตามขั้นตอนดังกล่าว ผลหารไม่แน่นอน ดังนั้น ตามทฤษฎีแล้ว มันสามารถแทนจำนวนใดๆ ก็ได้อย่างแน่นอน

0: 0 = 8 เพราะ 8 × 0 = 0

ในทางคณิตศาสตร์มีปัญหาเช่น การหารศูนย์ด้วยศูนย์ไม่สมเหตุสมผลเลย เนื่องจากผลลัพธ์ของมันคือเซตอนันต์ อย่างไรก็ตาม ข้อความนี้จะเป็นจริงหากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมที่อาจส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย

หากมีอยู่ควรประกอบด้วยการระบุระดับการเปลี่ยนแปลงขนาดของทั้งเงินปันผลและตัวหารและแม้กระทั่งก่อนช่วงเวลาที่พวกเขากลายเป็น ศูนย์- หากสิ่งนี้ถูกกำหนดไว้ นิพจน์เช่น ศูนย์หารด้วย ศูนย์ในกรณีส่วนใหญ่ ความหมายบางอย่างสามารถแนบมาด้วยได้

อัลฟ่าย่อมาจากจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นบ่งบอกว่าหากคุณบวกตัวเลขหรืออนันต์เข้ากับอนันต์ จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ก็จะอนันต์เหมือนเดิม หากเราใช้เซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้:

เพื่อพิสูจน์อย่างชัดเจนว่าถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จึงคิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้วฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นเหมือนหมอผีเต้นรำกับแทมบูรีน โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดเดือดลงไปที่ความจริงที่ว่าห้องบางห้องว่างและมีแขกใหม่เข้ามา หรือผู้เยี่ยมชมบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (เหมือนมนุษย์มาก) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวแฟนตาซีเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันมีพื้นฐานมาจากอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดต้องใช้เวลาไม่สิ้นสุด หลังจากที่เราออกจากห้องแรกสำหรับแขกแล้ว ผู้มาเยี่ยมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอนว่าปัจจัยด้านเวลาสามารถถูกมองข้ามอย่างโง่เขลาได้ แต่จะอยู่ในหมวดหมู่ของ "ไม่มีกฎหมายเขียนไว้สำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: ปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

“โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” คืออะไร? โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือโรงแรมที่มีเตียงว่างจำนวนเท่าใดก็ได้เสมอ ไม่ว่าจะมีคนอยู่กี่ห้องก็ตาม หากทุกห้องในทางเดิน "ผู้มาเยือน" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกครอบครอง ก็จะมีทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกห้องที่มีห้อง "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนอนันต์ นอกจากนี้ “โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” ยังมีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนไม่สิ้นสุดในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถหลีกหนีจากปัญหาซ้ำซากในชีวิตประจำวันได้: พระเจ้า - อัลลอฮ์ - พุทธะมีเพียงองค์เดียวเสมอมีโรงแรมเพียงแห่งเดียวมีทางเดินเพียงแห่งเดียว นักคณิตศาสตร์จึงพยายามสลับเลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่จะ "ยัดเยียดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้"

ฉันจะแสดงตรรกะของการใช้เหตุผลให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก่อนอื่นคุณต้องตอบคำถามง่ายๆ: มีจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งหรือหลายชุด? ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาเอง ตัวเลขไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติเก่งเรื่องการนับ แต่ด้วยเหตุนี้ เธอจึงใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ฉันจะบอกคุณว่าธรรมชาติคิดอย่างไรอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมา เราก็จะเป็นผู้ตัดสินใจว่าจำนวนธรรมชาติมีกี่ชุด ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือกตามความเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง “ให้เราได้รับ” ตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวซึ่งวางอยู่อย่างสงบบนชั้นวาง เรานำชุดนี้มาจากชั้นวาง เพียงเท่านี้ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่นเหลืออยู่บนชั้นวางแล้วและไม่มีที่ไหนที่จะหยิบมันไปได้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งรายการในชุดนี้ได้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถเอาอันหนึ่งจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วและส่งคืนไปที่ชั้นวาง หลังจากนั้นเราก็สามารถนำอันหนึ่งจากชั้นวางมาเพิ่มเข้ากับสิ่งที่เราเหลือ ผลก็คือ เราจะได้เซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนกิจวัตรทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันเขียนการกระทำในรูปแบบพีชคณิตและสัญลักษณ์ทฤษฎีเซต พร้อมรายการองค์ประกอบของเซตอย่างละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีจำนวนธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อมีการลบออกและเพิ่มหน่วยเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์หลายชุดบนชั้นวางของเรา ฉันเน้นย้ำ - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกในทางปฏิบัติก็ตาม ลองเอาหนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำจำนวนหนึ่งจากชุดของจำนวนธรรมชาติอีกชุดหนึ่งมาบวกเข้ากับชุดที่เราได้มาแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้ด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มหนึ่งเข้าไปในเซตอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ด้วย แต่จะไม่เหมือนกับเซตเดิม หากคุณเพิ่มเซตอนันต์อีกเซตให้กับเซตอนันต์หนึ่งเซต ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกของสองเซตแรก

เซตของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับแบบเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณบวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นเส้นอื่นไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉันได้ - มันเป็นธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณเคยประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองพิจารณาว่าคุณกำลังเดินตามแนวทางการใช้เหตุผลผิดๆ ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่นเคยเหยียบย่ำอยู่หรือไม่ ท้ายที่สุดแล้ว การศึกษาคณิตศาสตร์ ประการแรก ก่อให้เกิดทัศนคติแบบเหมารวมของการคิดที่มั่นคงในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตของเรา (หรือในทางกลับกัน กีดกันเราจากการคิดอย่างอิสระ)

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้อยู่และเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์แห่งบาบิโลนนั้นไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงชุดเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหนและมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด เป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะมองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันหรือไม่? จากการถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย ฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้เป็นการส่วนตัว:

พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่นั้นไม่ได้มีลักษณะเป็นองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและแบบแผนที่แตกต่างจากภาษาและแบบแผนของคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ชื่อเดียวกันในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกันได้ ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แล้วพบกันใหม่เร็วๆ นี้

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องป้อนหน่วยการวัดใหม่ที่มีอยู่ในองค์ประกอบบางส่วนของชุดที่เลือก ลองดูตัวอย่าง

ขอให้เรามีมากมาย กประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" ให้เราแสดงองค์ประกอบของชุดนี้ด้วยตัวอักษร กตัวห้อยที่มีตัวเลขจะระบุหมายเลขซีเรียลของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัด "เพศ" ใหม่และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ข- เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงเพิ่มแต่ละองค์ประกอบของชุด กขึ้นอยู่กับเพศ ข- โปรดสังเกตว่าตอนนี้กลุ่ม "คน" ของเรากลายเป็นกลุ่ม "คนที่มีลักษณะทางเพศ" แล้ว หลังจากนี้เราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศออกเป็นเพศชายได้ บีเอ็มและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่ว่าจะเป็นชายหรือหญิงก็ตาม ถ้าคนมี เราก็คูณมันด้วย 1 หากไม่มีเครื่องหมาย เราก็คูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราก็ได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยของผู้ชาย บีมและกลุ่มย่อยของผู้หญิง บว- นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันโดยประมาณเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ได้บอกรายละเอียดให้เราทราบ แต่ให้ผลลัพธ์ที่ครบถ้วนแก่เรา - "ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและส่วนหนึ่งของผู้หญิง" โดยปกติแล้ว คุณอาจมีคำถาม: คณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในการแปลงที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างถูกต้องเพียงใด ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าโดยพื้นฐานแล้วทุกอย่างถูกต้องแล้ว การรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตแบบบูลีน และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

สำหรับซูเปอร์เซ็ต คุณสามารถรวมสองชุดให้เป็นซูเปอร์เซ็ตเดียวได้โดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของทั้งสองชุดนี้

ดังที่คุณเห็น หน่วยการวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นมรดกตกทอดจากอดีต สัญญาณที่บ่งบอกว่าทุกอย่างไม่เป็นไปตามทฤษฎีเซตก็คือนักคณิตศาสตร์มีภาษาและสัญลักษณ์ของตนเองขึ้นมาสำหรับทฤษฎีเซต นักคณิตศาสตร์ก็ทำตัวเหมือนหมอผีที่ครั้งหนึ่งเคยทำ มีเพียงหมอผีเท่านั้นที่รู้วิธีใช้ “ความรู้” ของตน “อย่างถูกต้อง” พวกเขาสอนเรา "ความรู้" นี้

โดยสรุป ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการกับ .

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในการแก้ปัญหา..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลีสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง Aporia เรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และจะต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนที่มากจนไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ฉันได้บอกคุณไปแล้วว่าด้วยความช่วยเหลือจากหมอผีที่พยายามจัดเรียง "" ความเป็นจริง พวกเขาทำเช่นนี้ได้อย่างไร? การก่อตัวของเซตเกิดขึ้นจริงได้อย่างไร?

เรามาดูคำจำกัดความของเซตกันดีกว่า: "กลุ่มขององค์ประกอบต่างๆ ที่รวมกันเป็นหนึ่งเดียว" ตอนนี้รู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างสองวลี: “เป็นไปได้โดยรวม” และ “เป็นไปได้โดยรวม” วลีแรกคือผลลัพธ์สุดท้ายคือเซต ระยะที่ 2 คือการเตรียมการเบื้องต้นเพื่อจัดตั้งมวลชน ในขั้นตอนนี้ ความจริงถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบแต่ละส่วน ("ทั้งหมด") ซึ่งจากนั้นจะก่อให้เกิดฝูงชนจำนวนมาก ("ทั้งหมดเดียว") ในเวลาเดียวกันปัจจัยที่ทำให้สามารถรวม "ทั้งหมด" ให้เป็น "ทั้งหมดเดียว" จะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ มิฉะนั้นหมอผีจะไม่ประสบความสำเร็จ ท้ายที่สุดหมอรู้ล่วงหน้าว่าพวกเขาต้องการแสดงให้เราดูอะไร

ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่างให้คุณดู เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในขณะเดียวกัน เราก็เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีธนูและไม่มีธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "พร้อมธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีได้รับอาหารโดยผูกทฤษฎีเซตไว้กับความเป็นจริง

ตอนนี้เรามาทำเคล็ดลับเล็กน้อย เรามาลอง "แข็งด้วยสิวด้วยธนู" แล้วรวม "ทั้งก้อน" เหล่านี้ตามสี โดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้คำถามสุดท้าย: ชุดผลลัพธ์ "มีธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดที่แตกต่างกันหรือไม่? หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดมันก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตไม่มีประโยชน์เลยเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "ของแข็งสีแดงมีสิวและธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นในหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง) ความแข็งแกร่ง (ของแข็ง) ความหยาบ (สิว) การตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดหน่วยวัดเท่านั้นที่ช่วยให้เราอธิบายวัตถุจริงในภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ- นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยการวัดที่แตกต่างกัน หน่วยการวัดที่แยกแยะ "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้นจะถูกเน้นในวงเล็บ หน่วยวัดที่ใช้สร้างเซตจะถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยการวัดเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน หมอผีสามารถ "บรรลุผลแบบเดียวกันโดยสัญชาตญาณ" โดยโต้แย้งว่า "ชัดเจน" เพราะหน่วยการวัดไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

การใช้หน่วยวัดทำให้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซูเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

วันเสาร์ที่ 30 มิถุนายน 2018

หากนักคณิตศาสตร์ไม่สามารถลดแนวความคิดไปสู่แนวคิดอื่นได้ พวกเขาก็ไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย ฉันตอบ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร คำตอบนั้นง่ายมาก: ตัวเลขและหน่วยการวัด

ทุกวันนี้ ทุกสิ่งที่เราไม่ได้ใช้เป็นของบางเซต (ตามที่นักคณิตศาสตร์รับรองเรา) คุณเห็นรายการชุดที่คุณเป็นเจ้าของในกระจกบนหน้าผากของคุณหรือไม่? และฉันไม่ได้เห็นรายการดังกล่าว ฉันจะพูดมากกว่านี้ - ในความเป็นจริงไม่ใช่สิ่งเดียวที่มีแท็กพร้อมรายการชุดที่เป็นของสิ่งนี้ ฉากทั้งหมดล้วนเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหมอผี พวกเขาทำมันได้อย่างไร? เรามาดูประวัติศาสตร์ให้ลึกลงไปอีกหน่อยแล้วดูว่าองค์ประกอบของฉากนี้เป็นอย่างไร ก่อนที่หมอผีนักคณิตศาสตร์จะพาพวกมันเข้าไปในฉากของพวกเขา

นานมาแล้ว เมื่อไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ และมีเพียงต้นไม้และดาวเสาร์เท่านั้นที่มีวงแหวน ฝูงองค์ประกอบป่าจำนวนมหาศาลที่ตระเวนไปทั่วสนามฟิสิกส์ (ท้ายที่สุดแล้ว หมอผียังไม่ได้คิดค้นสนามคณิตศาสตร์เลย) พวกเขามีลักษณะเช่นนี้

ใช่ ไม่ต้องแปลกใจเลย จากมุมมองของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตจะคล้ายกับเม่นทะเลมากที่สุด - จากจุดหนึ่ง เช่น เข็ม หน่วยวัดจะยื่นออกมาในทุกทิศทาง สำหรับผู้ที่ ฉันขอเตือนคุณว่าหน่วยการวัดใดๆ สามารถแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตเป็นส่วนหนึ่งของความยาวใดๆ ก็ได้ และแสดงตัวเลขเป็นจุดได้ ในเชิงเรขาคณิต ปริมาณใดๆ สามารถแสดงเป็นกลุ่มของส่วนต่างๆ ที่ยื่นออกมาในทิศทางที่ต่างกันจากจุดหนึ่งได้ จุดนี้คือจุดศูนย์ ฉันจะไม่วาดภาพศิลปะเรขาคณิตชิ้นนี้ (ไม่มีแรงบันดาลใจ) แต่คุณสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดาย

หน่วยวัดใดที่ประกอบเป็นองค์ประกอบของเซต? สิ่งต่าง ๆ มากมายที่อธิบายองค์ประกอบที่กำหนดจากมุมมองที่ต่างกัน เหล่านี้เป็นหน่วยวัดโบราณที่บรรพบุรุษของเราใช้และทุกคนลืมไปนานแล้ว นี่คือหน่วยวัดสมัยใหม่ที่เราใช้อยู่ตอนนี้ สิ่งเหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่เราไม่รู้จัก ซึ่งลูกหลานของเราจะเกิดขึ้นและจะใช้อธิบายความเป็นจริง

เราได้แยกแยะเรขาคณิตออกแล้ว - แบบจำลองที่นำเสนอขององค์ประกอบของชุดนั้นมีการนำเสนอทางเรขาคณิตที่ชัดเจน แล้วฟิสิกส์ล่ะ? หน่วยวัดคือการเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากหมอผีไม่ยอมรับหน่วยการวัดว่าเป็นองค์ประกอบที่ครบถ้วนของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ นี่ก็เป็นปัญหาของพวกเขา โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้หากไม่มีหน่วยการวัด นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในตอนเริ่มต้นของเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ฉันจึงพูดถึงทฤษฎีเซตนี้ว่าอยู่ในยุคหิน

แต่มาดูสิ่งที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - พีชคณิตขององค์ประกอบของเซต ในทางพีชคณิต องค์ประกอบใดๆ ของเซตจะเป็นผลคูณ (ผลคูณ) ของปริมาณที่ต่างกัน มีลักษณะดังนี้

ฉันจงใจไม่ใช้แบบแผนของทฤษฎีเซต เนื่องจากเรากำลังพิจารณาองค์ประกอบของเซตในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติของมันก่อนที่ทฤษฎีเซตจะเกิดขึ้น ตัวอักษรแต่ละคู่ในวงเล็บแสดงถึงปริมาณที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุด้วยตัวอักษร " n" และหน่วยวัดที่ระบุด้วยตัวอักษร " ก" ดัชนีถัดจากตัวอักษรระบุว่าตัวเลขและหน่วยวัดแตกต่างกัน องค์ประกอบหนึ่งของชุดสามารถประกอบด้วยจำนวนอนันต์ (เราและลูกหลานของเรามีจินตนาการเพียงพอมากแค่ไหน) แต่ละวงเล็บจะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตดังนี้ ส่วนที่แยกต่างหาก ในตัวอย่างที่มีเม่นทะเลหนึ่งวงเล็บคือหนึ่งเข็ม

หมอผีสร้างเซตจากองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้อย่างไร ในความเป็นจริงตามหน่วยวัดหรือตามตัวเลข เนื่องจากไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ พวกเขาจึงนำเม่นทะเลหลายๆ ชนิดมาตรวจสอบอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเข็มอันเดียวที่ใช้ประกอบเป็นชุด หากมีเข็มเช่นนี้แสดงว่าองค์ประกอบนี้เป็นของชุดหากไม่มีเข็มดังกล่าวแสดงว่าองค์ประกอบนี้ไม่ได้มาจากชุดนี้ หมอผีเล่านิทานเกี่ยวกับกระบวนการคิดและภาพรวมให้เราฟัง

ดังที่คุณอาจเดาได้ องค์ประกอบเดียวกันสามารถอยู่ในเซตที่ต่างกันมากได้ ต่อไป ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าเซต เซ็ตย่อย และเรื่องไร้สาระแบบชามานิกอื่นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไร ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์มาดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

Evgeniy Shiryaev ครูและหัวหน้าห้องปฏิบัติการคณิตศาสตร์ของพิพิธภัณฑ์โพลีเทคนิคบอกกับ AiF.ru เกี่ยวกับการหารด้วยศูนย์:

1. เขตอำนาจศาลของปัญหา

เห็นด้วย สิ่งที่ทำให้กฎนี้ยั่วยุเป็นพิเศษคือการห้าม สิ่งนี้จะไม่สามารถทำได้ได้อย่างไร? ใครห้าม? แล้วสิทธิพลเมืองของเราล่ะ?

ทั้งรัฐธรรมนูญแห่งสหพันธรัฐรัสเซียหรือประมวลกฎหมายอาญาหรือแม้แต่กฎบัตรของโรงเรียนของคุณก็ไม่คัดค้านการดำเนินการทางปัญญาที่เราสนใจ ซึ่งหมายความว่าการแบนไม่มีผลทางกฎหมาย และไม่มีอะไรขัดขวางคุณจากการพยายามหารบางสิ่งด้วยศูนย์บนหน้า AiF.ru ที่นี่ เช่น หนึ่งพัน.

2.แบ่งตามสอนครับ

โปรดจำไว้ว่า เมื่อคุณเรียนรู้วิธีหารครั้งแรก ตัวอย่างแรกๆ ได้รับการแก้ไขโดยการตรวจสอบการคูณ ผลลัพธ์ที่คูณด้วยตัวหารจะต้องเหมือนกับตัวหารที่ลงตัว ถ้าไม่ตรงกันก็ไม่ตัดสินใจ

ตัวอย่างที่ 1 1000: 0 =...

ลืมกฎต้องห้ามไปชั่วขณะแล้วลองเดาคำตอบดูหลายๆ ครั้ง

รายการที่ไม่ถูกต้องจะถูกตัดออกโดยเช็ค ลองใช้ตัวเลือกต่อไปนี้: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000 สำหรับแต่ละตัวเลือก เช็คจะให้ผลลัพธ์เดียวกัน:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

เมื่อคูณศูนย์ ทุกอย่างจะกลายเป็นตัวมันเองและไม่มีวันกลายเป็นพัน ข้อสรุปนั้นง่ายต่อการกำหนด: ไม่มีตัวเลขใดที่จะผ่านการทดสอบ นั่นคือ ไม่มีตัวเลขใดที่สามารถเป็นผลมาจากการหารตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วยศูนย์ การแบ่งแยกดังกล่าวไม่ได้ถูกห้าม แต่ก็ไม่ได้ผล

3. แตกต่างกันนิดหน่อย

เราเกือบพลาดโอกาสครั้งหนึ่งในการหักล้างการแบนนี้ ใช่ เรายอมรับว่าจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ แต่บางที 0 เองก็สามารถทำได้ใช่ไหม

ตัวอย่างที่ 2 0: 0 = ...

คุณมีข้อเสนอแนะส่วนตัวอย่างไร? 100? กรุณา: ผลหารของ 100 คูณด้วยตัวหาร 0 เท่ากับเงินปันผล 0

ตัวเลือกเพิ่มเติม! 1? พอดีด้วย. และ −23 และ 17 ก็แค่นั้นแหละ ในตัวอย่างนี้ การตรวจสอบผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกสำหรับตัวเลขใดๆ และตามจริงแล้ว วิธีแก้ปัญหาในตัวอย่างนี้ไม่ควรเรียกว่าตัวเลข แต่เป็นชุดตัวเลข ทุกคน. และใช้เวลาไม่นานในการตกลงกันว่าอลิซไม่ใช่อลิซ แต่เป็นแมรี่ แอน และทั้งคู่คือความฝันของกระต่าย

4. แล้วคณิตศาสตร์ชั้นสูงล่ะ?

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว คำนึงถึงความแตกต่าง วางจุดแล้ว ทุกอย่างชัดเจน - คำตอบสำหรับตัวอย่างที่มีการหารด้วยศูนย์ไม่สามารถเป็นตัวเลขเดียวได้ การแก้ปัญหาดังกล่าวสิ้นหวังและเป็นไปไม่ได้ นั่นแปลว่า...น่าสนใจ! ใช้เวลาสอง

ตัวอย่างที่ 3 หาวิธีหาร 1,000 ด้วย 0.

แต่ไม่มีทาง แต่ 1,000 สามารถหารด้วยตัวเลขอื่นได้อย่างง่ายดาย อย่างน้อยเรามาทำสิ่งที่เราทำได้ แม้ว่าเราจะเปลี่ยนงานที่ทำอยู่ก็ตาม แล้วคุณจะเห็นว่าเราถูกพาไปและคำตอบก็จะปรากฏขึ้นเอง ลืมศูนย์สักนาทีแล้วหารด้วยหนึ่งร้อย:

ร้อยอยู่ไกลจากศูนย์ ก้าวไปอีกขั้นด้วยการลดตัวหาร:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

พลวัตที่ชัดเจน: ยิ่งตัวหารเข้าใกล้ศูนย์มากเท่าใด ผลหารก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น แนวโน้มสามารถสังเกตเพิ่มเติมได้โดยการย้ายไปยังเศษส่วนและลดตัวเศษต่อไป:

โปรดทราบว่าเราสามารถเข้าใกล้ศูนย์ได้มากเท่าที่เราต้องการ และทำให้ผลหารมีขนาดใหญ่เท่าที่เราต้องการ

ในกระบวนการนี้ไม่มีศูนย์และไม่มีผลหารสุดท้าย เราระบุการเคลื่อนไหวเข้าหาพวกเขาโดยแทนที่ตัวเลขด้วยลำดับที่บรรจบกับตัวเลขที่เราสนใจ:

นี่หมายถึงการทดแทนเงินปันผลที่คล้ายกัน:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

ไม่ใช่เพื่ออะไรเลยที่ลูกศรเป็นแบบสองด้าน: บางลำดับสามารถมาบรรจบกันเป็นตัวเลขได้ จากนั้นเราสามารถเชื่อมโยงลำดับกับขีดจำกัดตัวเลขของมันได้

ลองดูลำดับของผลหาร:

มันเติบโตอย่างไร้ขีดจำกัด โดยไม่ดิ้นรนเพื่อตัวเลขใดๆ และเหนือกว่าใดๆ นักคณิตศาสตร์เพิ่มสัญลักษณ์ให้กับตัวเลข ∞ เพื่อให้สามารถวางลูกศรสองด้านไว้ข้างลำดับดังกล่าว:

การเปรียบเทียบกับจำนวนลำดับที่มีขีดจำกัดทำให้เราสามารถเสนอวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างที่สามได้:

เมื่อองค์ประกอบหารลำดับที่มาบรรจบกันเป็น 1,000 ด้วยลำดับของจำนวนบวกที่บรรจบกันเป็น 0 เราจะได้ลำดับที่มาบรรจบกันที่ ∞

5. และนี่คือความแตกต่างกันนิดหน่อยกับศูนย์สองตัว

ผลลัพท์ของการหารเลขบวกสองลำดับแล้วมาบรรจบกันเป็นศูนย์จะมีผลอย่างไร? ถ้าเหมือนกันแสดงว่าหน่วยเหมือนกัน หากลำดับการจ่ายเงินปันผลมาบรรจบกันที่ศูนย์เร็วขึ้น ดังนั้นในผลหาร ลำดับจะมีขีดจำกัดเป็นศูนย์ และเมื่อองค์ประกอบของตัวหารลดลงเร็วกว่าองค์ประกอบของตัวหารมาก ลำดับของผลหารจะโตขึ้นอย่างมาก:

สถานการณ์ที่ไม่แน่นอน และนั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: ความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 - เมื่อนักคณิตศาสตร์เห็นลำดับที่เหมาะกับความไม่แน่นอนดังกล่าว พวกเขาไม่รีบเร่งที่จะหารตัวเลขที่เหมือนกันสองตัวเข้าด้วยกัน แต่ลองคิดดูว่าลำดับใดที่วิ่งเร็วกว่าจนเหลือศูนย์ และแม่นยำแค่ไหน และแต่ละตัวอย่างก็จะมีคำตอบเฉพาะของตัวเอง!

6. ในชีวิต

กฎของโอห์มเกี่ยวข้องกับกระแส แรงดัน และความต้านทานในวงจร มักจะเขียนในรูปแบบนี้:

ปล่อยให้เราละเลยความเข้าใจทางกายภาพที่เรียบร้อยและมองทางขวามืออย่างเป็นทางการว่าเป็นผลหารของตัวเลขสองตัว ลองจินตนาการว่าเรากำลังแก้ไขปัญหาเรื่องไฟฟ้าของโรงเรียน เงื่อนไขนี้ให้แรงดันไฟฟ้าเป็นโวลต์และความต้านทานเป็นโอห์ม คำถามนั้นชัดเจน วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่การดำเนินการเดียว

ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความของความเป็นตัวนำยิ่งยวด: นี่คือคุณสมบัติของโลหะบางชนิดที่มีความต้านทานไฟฟ้าเป็นศูนย์

ทีนี้มาแก้ปัญหาวงจรตัวนำยิ่งยวดกันดีกว่า? ก็แค่ตั้งค่าแบบนั้น ร= 0 หากไม่ได้ผล ฟิสิกส์ก็จะก่อให้เกิดปัญหาที่น่าสนใจ ซึ่งแน่นอนว่ามีการค้นพบทางวิทยาศาสตร์อยู่เบื้องหลัง และคนที่หารด้วยศูนย์ได้ในสถานการณ์เช่นนี้ก็ได้รับรางวัลโนเบล การหลีกเลี่ยงข้อห้ามต่างๆ ได้จะมีประโยชน์!

อัลฟ่าย่อมาจากจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นบ่งบอกว่าหากคุณบวกตัวเลขหรืออนันต์เข้ากับอนันต์ จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ก็จะอนันต์เหมือนเดิม หากเราใช้เซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้:

เพื่อพิสูจน์อย่างชัดเจนว่าถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จึงคิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้วฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นเหมือนหมอผีเต้นรำกับแทมบูรีน โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดเดือดลงไปที่ความจริงที่ว่าห้องบางห้องว่างและมีแขกใหม่เข้ามา หรือผู้เยี่ยมชมบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (เหมือนมนุษย์มาก) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวแฟนตาซีเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันมีพื้นฐานมาจากอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดต้องใช้เวลาไม่สิ้นสุด หลังจากที่เราออกจากห้องแรกสำหรับแขกแล้ว ผู้มาเยี่ยมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอนว่าปัจจัยด้านเวลาสามารถถูกมองข้ามอย่างโง่เขลาได้ แต่จะอยู่ในหมวดหมู่ของ "ไม่มีกฎหมายเขียนไว้สำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: ปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

“โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” คืออะไร? โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือโรงแรมที่มีเตียงว่างจำนวนเท่าใดก็ได้เสมอ ไม่ว่าจะมีคนอยู่กี่ห้องก็ตาม หากทุกห้องในทางเดิน "ผู้มาเยือน" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกครอบครอง ก็จะมีทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกห้องที่มีห้อง "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนอนันต์ นอกจากนี้ “โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” ยังมีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนไม่สิ้นสุดในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถหลีกหนีจากปัญหาซ้ำซากในชีวิตประจำวันได้: พระเจ้า - อัลลอฮ์ - พุทธะมีเพียงองค์เดียวเสมอมีโรงแรมเพียงแห่งเดียวมีทางเดินเพียงแห่งเดียว นักคณิตศาสตร์จึงพยายามสลับเลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่จะ "ยัดเยียดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้"

ฉันจะแสดงตรรกะของการใช้เหตุผลให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก่อนอื่นคุณต้องตอบคำถามง่ายๆ: มีจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งหรือหลายชุด? ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาเอง ตัวเลขไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติเก่งเรื่องการนับ แต่ด้วยเหตุนี้ เธอจึงใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ฉันจะบอกคุณว่าธรรมชาติคิดอย่างไรอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมา เราก็จะเป็นผู้ตัดสินใจว่าจำนวนธรรมชาติมีกี่ชุด ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือกตามความเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง “ให้เราได้รับ” ตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวซึ่งวางอยู่อย่างสงบบนชั้นวาง เรานำชุดนี้มาจากชั้นวาง เพียงเท่านี้ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่นเหลืออยู่บนชั้นวางแล้วและไม่มีที่ไหนที่จะหยิบมันไปได้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งรายการในชุดนี้ได้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถเอาอันหนึ่งจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วและส่งคืนไปที่ชั้นวาง หลังจากนั้นเราก็สามารถนำอันหนึ่งจากชั้นวางมาเพิ่มเข้ากับสิ่งที่เราเหลือ ผลก็คือ เราจะได้เซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนกิจวัตรทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันเขียนการกระทำในรูปแบบพีชคณิตและสัญลักษณ์ทฤษฎีเซต พร้อมรายการองค์ประกอบของเซตอย่างละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีจำนวนธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อมีการลบออกและเพิ่มหน่วยเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์หลายชุดบนชั้นวางของเรา ฉันเน้นย้ำ - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกในทางปฏิบัติก็ตาม ลองเอาหนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำจำนวนหนึ่งจากชุดของจำนวนธรรมชาติอีกชุดหนึ่งมาบวกเข้ากับชุดที่เราได้มาแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้ด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มหนึ่งเข้าไปในเซตอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ด้วย แต่จะไม่เหมือนกับเซตเดิม หากคุณเพิ่มเซตอนันต์อีกเซตให้กับเซตอนันต์หนึ่งเซต ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกของสองเซตแรก

เซตของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับแบบเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณบวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นเส้นอื่นไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉันได้ - มันเป็นธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณเคยประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองพิจารณาว่าคุณกำลังเดินตามแนวทางการใช้เหตุผลผิดๆ ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่นเคยเหยียบย่ำอยู่หรือไม่ ท้ายที่สุดแล้ว การศึกษาคณิตศาสตร์ ประการแรก ก่อให้เกิดทัศนคติแบบเหมารวมของการคิดที่มั่นคงในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตของเรา (หรือในทางกลับกัน กีดกันเราจากการคิดอย่างอิสระ)

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้อยู่และเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์แห่งบาบิโลนนั้นไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงชุดเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหนและมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด เป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะมองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันหรือไม่? จากการถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย ฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้เป็นการส่วนตัว:

พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่นั้นไม่ได้มีลักษณะเป็นองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและแบบแผนที่แตกต่างจากภาษาและแบบแผนของคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ชื่อเดียวกันในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกันได้ ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แล้วพบกันใหม่เร็วๆ นี้

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องป้อนหน่วยการวัดใหม่ที่มีอยู่ในองค์ประกอบบางส่วนของชุดที่เลือก ลองดูตัวอย่าง

ขอให้เรามีมากมาย กประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" ให้เราแสดงองค์ประกอบของชุดนี้ด้วยตัวอักษร กตัวห้อยที่มีตัวเลขจะระบุหมายเลขซีเรียลของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัด "เพศ" ใหม่และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ข- เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงเพิ่มแต่ละองค์ประกอบของชุด กขึ้นอยู่กับเพศ ข- โปรดสังเกตว่าตอนนี้กลุ่ม "คน" ของเรากลายเป็นกลุ่ม "คนที่มีลักษณะทางเพศ" แล้ว หลังจากนี้เราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศออกเป็นเพศชายได้ บีเอ็มและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่ว่าจะเป็นชายหรือหญิงก็ตาม ถ้าคนมี เราก็คูณมันด้วย 1 หากไม่มีเครื่องหมาย เราก็คูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราก็ได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยของผู้ชาย บีมและกลุ่มย่อยของผู้หญิง บว- นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันโดยประมาณเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ได้บอกรายละเอียดให้เราทราบ แต่ให้ผลลัพธ์ที่ครบถ้วนแก่เรา - "ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและส่วนหนึ่งของผู้หญิง" โดยปกติแล้ว คุณอาจมีคำถาม: คณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในการแปลงที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างถูกต้องเพียงใด ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าโดยพื้นฐานแล้วทุกอย่างถูกต้องแล้ว การรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตแบบบูลีน และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

สำหรับซูเปอร์เซ็ต คุณสามารถรวมสองชุดให้เป็นซูเปอร์เซ็ตเดียวได้โดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของทั้งสองชุดนี้

ดังที่คุณเห็น หน่วยการวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นมรดกตกทอดจากอดีต สัญญาณที่บ่งบอกว่าทุกอย่างไม่เป็นไปตามทฤษฎีเซตก็คือนักคณิตศาสตร์มีภาษาและสัญลักษณ์ของตนเองขึ้นมาสำหรับทฤษฎีเซต นักคณิตศาสตร์ก็ทำตัวเหมือนหมอผีที่ครั้งหนึ่งเคยทำ มีเพียงหมอผีเท่านั้นที่รู้วิธีใช้ “ความรู้” ของตน “อย่างถูกต้อง” พวกเขาสอนเรา "ความรู้" นี้

โดยสรุป ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการกับ .

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในการแก้ปัญหา..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลีสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง Aporia เรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และจะต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนที่มากจนไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ฉันได้บอกคุณไปแล้วว่าด้วยความช่วยเหลือจากหมอผีที่พยายามจัดเรียง "" ความเป็นจริง พวกเขาทำเช่นนี้ได้อย่างไร? การก่อตัวของเซตเกิดขึ้นจริงได้อย่างไร?

เรามาดูคำจำกัดความของเซตกันดีกว่า: "กลุ่มขององค์ประกอบต่างๆ ที่รวมกันเป็นหนึ่งเดียว" ตอนนี้รู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างสองวลี: “เป็นไปได้โดยรวม” และ “เป็นไปได้โดยรวม” วลีแรกคือผลลัพธ์สุดท้ายคือเซต ระยะที่ 2 คือการเตรียมการเบื้องต้นเพื่อจัดตั้งมวลชน ในขั้นตอนนี้ ความจริงถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบแต่ละส่วน ("ทั้งหมด") ซึ่งจากนั้นจะก่อให้เกิดฝูงชนจำนวนมาก ("ทั้งหมดเดียว") ในเวลาเดียวกันปัจจัยที่ทำให้สามารถรวม "ทั้งหมด" ให้เป็น "ทั้งหมดเดียว" จะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ มิฉะนั้นหมอผีจะไม่ประสบความสำเร็จ ท้ายที่สุดหมอรู้ล่วงหน้าว่าพวกเขาต้องการแสดงให้เราดูอะไร

ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่างให้คุณดู เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในขณะเดียวกัน เราก็เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีธนูและไม่มีธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "พร้อมธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีได้รับอาหารโดยผูกทฤษฎีเซตไว้กับความเป็นจริง

ตอนนี้เรามาทำเคล็ดลับเล็กน้อย เรามาลอง "แข็งด้วยสิวด้วยธนู" แล้วรวม "ทั้งก้อน" เหล่านี้ตามสี โดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้คำถามสุดท้าย: ชุดผลลัพธ์ "มีธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดที่แตกต่างกันหรือไม่? หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดมันก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตไม่มีประโยชน์เลยเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "ของแข็งสีแดงมีสิวและธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นในหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง) ความแข็งแกร่ง (ของแข็ง) ความหยาบ (สิว) การตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดหน่วยวัดเท่านั้นที่ช่วยให้เราอธิบายวัตถุจริงในภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ- นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยการวัดที่แตกต่างกัน หน่วยการวัดที่แยกแยะ "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้นจะถูกเน้นในวงเล็บ หน่วยวัดที่ใช้สร้างเซตจะถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยการวัดเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน หมอผีสามารถ "บรรลุผลแบบเดียวกันโดยสัญชาตญาณ" โดยโต้แย้งว่า "ชัดเจน" เพราะหน่วยการวัดไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

การใช้หน่วยวัดทำให้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซูเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

วันเสาร์ที่ 30 มิถุนายน 2018

หากนักคณิตศาสตร์ไม่สามารถลดแนวความคิดไปสู่แนวคิดอื่นได้ พวกเขาก็ไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย ฉันตอบ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร คำตอบนั้นง่ายมาก: ตัวเลขและหน่วยการวัด

ทุกวันนี้ ทุกสิ่งที่เราไม่ได้ใช้เป็นของบางเซต (ตามที่นักคณิตศาสตร์รับรองเรา) คุณเห็นรายการชุดที่คุณเป็นเจ้าของในกระจกบนหน้าผากของคุณหรือไม่? และฉันไม่ได้เห็นรายการดังกล่าว ฉันจะพูดมากกว่านี้ - ในความเป็นจริงไม่ใช่สิ่งเดียวที่มีแท็กพร้อมรายการชุดที่เป็นของสิ่งนี้ ฉากทั้งหมดล้วนเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหมอผี พวกเขาทำมันได้อย่างไร? เรามาดูประวัติศาสตร์ให้ลึกลงไปอีกหน่อยแล้วดูว่าองค์ประกอบของฉากนี้เป็นอย่างไร ก่อนที่หมอผีนักคณิตศาสตร์จะพาพวกมันเข้าไปในฉากของพวกเขา

นานมาแล้ว เมื่อไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ และมีเพียงต้นไม้และดาวเสาร์เท่านั้นที่มีวงแหวน ฝูงองค์ประกอบป่าจำนวนมหาศาลที่ตระเวนไปทั่วสนามฟิสิกส์ (ท้ายที่สุดแล้ว หมอผียังไม่ได้คิดค้นสนามคณิตศาสตร์เลย) พวกเขามีลักษณะเช่นนี้

ใช่ ไม่ต้องแปลกใจเลย จากมุมมองของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตจะคล้ายกับเม่นทะเลมากที่สุด - จากจุดหนึ่ง เช่น เข็ม หน่วยวัดจะยื่นออกมาในทุกทิศทาง สำหรับผู้ที่ ฉันขอเตือนคุณว่าหน่วยการวัดใดๆ สามารถแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตเป็นส่วนหนึ่งของความยาวใดๆ ก็ได้ และแสดงตัวเลขเป็นจุดได้ ในเชิงเรขาคณิต ปริมาณใดๆ สามารถแสดงเป็นกลุ่มของส่วนต่างๆ ที่ยื่นออกมาในทิศทางที่ต่างกันจากจุดหนึ่งได้ จุดนี้คือจุดศูนย์ ฉันจะไม่วาดภาพศิลปะเรขาคณิตชิ้นนี้ (ไม่มีแรงบันดาลใจ) แต่คุณสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดาย

หน่วยวัดใดที่ประกอบเป็นองค์ประกอบของเซต? สิ่งต่าง ๆ มากมายที่อธิบายองค์ประกอบที่กำหนดจากมุมมองที่ต่างกัน เหล่านี้เป็นหน่วยวัดโบราณที่บรรพบุรุษของเราใช้และทุกคนลืมไปนานแล้ว นี่คือหน่วยวัดสมัยใหม่ที่เราใช้อยู่ตอนนี้ สิ่งเหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่เราไม่รู้จัก ซึ่งลูกหลานของเราจะเกิดขึ้นและจะใช้อธิบายความเป็นจริง

เราได้แยกแยะเรขาคณิตออกแล้ว - แบบจำลองที่นำเสนอขององค์ประกอบของชุดนั้นมีการนำเสนอทางเรขาคณิตที่ชัดเจน แล้วฟิสิกส์ล่ะ? หน่วยวัดคือการเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากหมอผีไม่ยอมรับหน่วยการวัดว่าเป็นองค์ประกอบที่ครบถ้วนของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ นี่ก็เป็นปัญหาของพวกเขา โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้หากไม่มีหน่วยการวัด นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในตอนเริ่มต้นของเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ฉันจึงพูดถึงทฤษฎีเซตนี้ว่าอยู่ในยุคหิน

แต่มาดูสิ่งที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - พีชคณิตขององค์ประกอบของเซต ในทางพีชคณิต องค์ประกอบใดๆ ของเซตจะเป็นผลคูณ (ผลคูณ) ของปริมาณที่ต่างกัน มีลักษณะดังนี้

ฉันจงใจไม่ใช้แบบแผนของทฤษฎีเซต เนื่องจากเรากำลังพิจารณาองค์ประกอบของเซตในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติของมันก่อนที่ทฤษฎีเซตจะเกิดขึ้น ตัวอักษรแต่ละคู่ในวงเล็บแสดงถึงปริมาณที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุด้วยตัวอักษร " n" และหน่วยวัดที่ระบุด้วยตัวอักษร " ก" ดัชนีถัดจากตัวอักษรระบุว่าตัวเลขและหน่วยวัดแตกต่างกัน องค์ประกอบหนึ่งของชุดสามารถประกอบด้วยจำนวนอนันต์ (เราและลูกหลานของเรามีจินตนาการเพียงพอมากแค่ไหน) แต่ละวงเล็บจะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตดังนี้ ส่วนที่แยกต่างหาก ในตัวอย่างที่มีเม่นทะเลหนึ่งวงเล็บคือหนึ่งเข็ม

หมอผีสร้างเซตจากองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้อย่างไร ในความเป็นจริงตามหน่วยวัดหรือตามตัวเลข เนื่องจากไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ พวกเขาจึงนำเม่นทะเลหลายๆ ชนิดมาตรวจสอบอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเข็มอันเดียวที่ใช้ประกอบเป็นชุด หากมีเข็มเช่นนี้แสดงว่าองค์ประกอบนี้เป็นของชุดหากไม่มีเข็มดังกล่าวแสดงว่าองค์ประกอบนี้ไม่ได้มาจากชุดนี้ หมอผีเล่านิทานเกี่ยวกับกระบวนการคิดและภาพรวมให้เราฟัง

ดังที่คุณอาจเดาได้ องค์ประกอบเดียวกันสามารถอยู่ในเซตที่ต่างกันมากได้ ต่อไป ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าเซต เซ็ตย่อย และเรื่องไร้สาระแบบชามานิกอื่นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไร ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์มาดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"